Calcule o campo elétrico de um cilindro infinito de raio
com uma densidade volumétrica de carga
, onde
é uma constante e
é a distância radial. No interior do cilindro
existe um vazio cilíndrico de raio
concêntrico com o cilindro maior. Obtenha uma expressão para o campo elétrico nas três regiões,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A questão pede para calcular o campo elétrico gerado por um cilindro infinito com algumas características específicas. Estamos lidando com campo elétrico e vamos usar a Lei de Gauss para achar as expressões do campo elétrico nas três regiões diferentes: dentro do vazio cilíndrico
, na região do material do cilindro
e fora do cilindro
. Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em cada uma dessas áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a região
, que é o vazio cilíndrico dentro do cilindro maior. Como esse espaço está vazio, não há carga dentro dessa região. Quando aplicamos a Lei de Gauss, a carga encerrada dentro da superfície gaussiana é zero. A Lei de Gauss diz que:
Como $ Q_{enc} = 0 $, temos:
Isso significa que o campo elétrico $ \vec{E} $ dentro do vazio cilíndrico é zero.
Passo 3
Agora, vamos para a região
, que é a área onde o cilindro tem carga. A densidade volumétrica de carga é dada por $ \rho = k r $, onde $ k $ é uma constante e $ r $ é a distância radial a partir do eixo do cilindro.
Para aplicar a Lei de Gauss aqui, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $ r $ e comprimento $ L $, onde $ a \leq r \leq b $. A simetria do problema nos permite dizer que o campo elétrico $ \vec{E} $ é radial e constante na superfície gaussiana.
A carga encerrada $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana é a carga na região entre $ a $ e $ r $:
Calculando a integral:
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo $ Q_{enc} $:
Simplificando:
Passo 4
Finalmente, vamos analisar a região
, que está fora do cilindro de raio $ b $. Aqui, toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície gaussiana cilíndrica. A carga total $ Q_{total} $ do cilindro é:
Calculando a integral:
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo $ Q_{total} $:
Simplificando:
Resposta
As expressões para o campo elétrico são: