Calcule o campo elétrico de um cilindro infinito de raio b com uma densidade volumétrica de carga rho=k r, onde k é uma constante e r é a distância radial. No interior do cilindro (r existe um vazio cilíndrico de raio a concêntrico com o cilindro maior. Obtenha uma expressão para o campo elétrico nas três regiões, [0, a],[a, b] e[b, infty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A questão pede para calcular o campo elétrico gerado por um cilindro infinito com algumas características específicas. Estamos lidando com campo elétrico e vamos usar a Lei de Gauss para achar as expressões do campo elétrico nas três regiões diferentes: dentro do vazio cilíndrico [0, a], na região do material do cilindro [a, b] e fora do cilindro [b, infty). Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em cada uma dessas áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a região [0, a], que é o vazio cilíndrico dentro do cilindro maior. Como esse espaço está vazio, não há carga dentro dessa região. Quando aplicamos a Lei de Gauss, a carga encerrada dentro da superfície gaussiana é zero. A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Como $ Q_{enc} = 0 $, temos:
Qenc = 0
Isso significa que o campo elétrico $ \vec{E} $ dentro do vazio cilíndrico é zero.

Passo 3

Agora, vamos para a região [a, b], que é a área onde o cilindro tem carga. A densidade volumétrica de carga é dada por $ \rho = k r $, onde $ k $ é uma constante e $ r $ é a distância radial a partir do eixo do cilindro.
Para aplicar a Lei de Gauss aqui, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $ r $ e comprimento $ L $, onde $ a \leq r \leq b $. A simetria do problema nos permite dizer que o campo elétrico $ \vec{E} $ é radial e constante na superfície gaussiana.
A carga encerrada $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana é a carga na região entre $ a $ e $ r $:
rho = k r
Calculando a integral:
k
Aplicando a Lei de Gauss:
r
Substituindo $ Q_{enc} $:
r
Simplificando:
L
a <= r <= b
E

Passo 4

Finalmente, vamos analisar a região [b, infty), que está fora do cilindro de raio $ b $. Aqui, toda a carga do cilindro está dentro da nossa superfície gaussiana cilíndrica. A carga total $ Q_{total} $ do cilindro é:
b
Calculando a integral:
Qtotal
Aplicando a Lei de Gauss:
Qtotal = integrala^b rho cdot 2pi s L , ds = integrala^b k s cdot 2pi s L , ds = 2pi k L integrala^b s^2 , ds
Substituindo $ Q_{total} $:
Qtotal = 2pi k L [ s^33 ]a^b = 2pi k L3 ( b^3 - a^3 )
Simplificando:
oint E cdot dA = E cdot 2pi r L = Qtotalvarepsilon0

Resposta

As expressões para o campo elétrico são:
E(r) = 0, & 0 <= r < a k r3 varepsilon0 - k a^33 varepsilon0 r, & a <= r < b k (b^3 - a^3)3 varepsilon0 r, & r >= b

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