O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de posição e spin
R21(raiz1 / 3 Y1^0 chi++raiz2 / 3 Y1^1 chi-)
Seja J equiv L+S o momentum angular total.
(e) Se medirmos J^2, quais valores poderíamos obter, e quais as probabilidades de cada um?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de posição e spin, representado por:
R21(raiz13 Y1^0 chi++raiz23 Y1^1 chi-)
O que queremos descobrir é, se medirmos $ J^{2} $ (o quadrado do momento angular total), quais valores poderíamos obter e quais são as probabilidades de cada um. Para isso, vamos precisar entender como combinar os momentos angulares que o elétron possui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total $ J $ é a soma do momento angular orbital $ L $ e do momento angular de spin $ S $:
J
No nosso caso, pelo termo $ Y_{1}^{m} $, sabemos que $ L = 1 $, pois o número 1 indica o número quântico orbital. O spin $ S $ do elétron é sempre $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, precisamos determinar quais valores $ J $ pode assumir quando combinamos $ L = 1 $ e $ S = \frac{1}{2} $. De acordo com as regras de combinação de momentos angulares, os possíveis valores de $ J $ são dados por:
J é
Substituindo os valores que temos:
L = 1 é
Isso significa que $ J $ pode ser $ \frac{1}{2} $ ou $ \frac{3}{2} $.

Passo 4

A próxima etapa é descobrir as probabilidades de cada valor de $ J $ ocorrer quando medirmos $ J^{2} $. Para isso, olhamos para os coeficientes na combinação linear do estado dado:
J
A probabilidade de cada estado é o quadrado do módulo do coeficiente correspondente:
J^2
raiz13 Y1^0 chi+ e raiz23 Y1^1 chi-

Resposta

Ao medir $ J^{2} $, podemos obter dois valores possíveis para $ J $: $ \frac{1}{2} $ e $ \frac{3}{2} $. As probabilidades de cada um são $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $, respectivamente.

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