Considere um experimento que consiste na contagem de partículas alfa emitidas num intervalo de 1 segundo por 1 grama de material radioativo. Se sabemos por experiência que em média são liberadas 3,2 partículas. Qual é a probabilidade que no máximo 2 partículas sejam emitidas?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre contar partículas alfa emitidas por um material radioativo em 1 segundo. Isso está relacionado à Distribuição de Poisson, que é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a média ( ) das partículas emitidas, que é 3,2 partículas por segundo. A Distribuição de Poisson nos ajuda a encontrar a probabilidade de ocorrer um certo número de eventos (neste caso, partículas) com essa média.

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de no máximo 2 partículas serem emitidas, ou seja, . Isso significa calcular , e e somar esses valores.

Passo 4

A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • é a base do logaritmo natural (~2,71828),
  • é a média (3,2),
  • é o número de eventos (0, 1 ou 2),
  • é o fatorial de .

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
Para P(0) = e^-3,2 times 3,2^00! = e^-3,2 times 1 / 1 = e^-3,2 approx 0,0408 :
P(1) = e^-3,2 times 3,2^11! = e^-3,2 times 3,2 / 1 approx 0,1305
Para P(2) = e^-3,2 times 3,2^22! = e^-3,2 times 10,24 / 2 approx 0,2088 :
Para :

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades:
P(X <= 2) = P(0) + P(1) + P(2) approx 0,0408 + 0,1305 + 0,2088 = 0,3801

Resposta

A probabilidade de que no máximo 2 partículas sejam emitidas é de aproximadamente 38,01%.

Exercícios relacionados