Duas mil trutas marrons são colocadas em um pequeno lago. O lago tem um volume de 20.000 metros cúbicos. Qual é a probabilidade de que três trutas sejam encontradas em qualquer metro cúbico do lago.

Passo 1

Tá, vamos lá! A gente tem 2000 trutas sendo colocadas num lago que tem 20.000 metros cúbicos. A pergunta é: qual a probabilidade de, em qualquer metro cúbico do lago, ter exatamente 3 trutas? Vamos precisar usar um pouco de probabilidade, especificamente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de “sucessos” acontecerem em um número fixo de tentativas, onde cada tentativa é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso. Aqui, cada “sucesso” é uma truta estar naquele metro cúbico específico.

Passo 3

Vamos definir os valores que vamos usar na fórmula da binomial:
  • Número total de trutas,
  • Número de trutas que queremos encontrar,
  • Probabilidade de uma truta estar em um metro cúbico, (porque o lago tem 20.000 m³)

Passo 4

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher trutas entre .

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente binomial binom20003 = 2000!3! times (2000 - 3)! = 2000 times 1999 times 19983 times 2 times 1 = 2000 times 1999 times 19986 :
Depois de calcular, isso dá aproximadamente .

Passo 6

Agora, calculamos .

Passo 7

Em seguida, calculamos . Para simplificar, podemos usar a aproximação onde . Aqui, , então .

Passo 8

Agora, juntando tudo:
P(X = 3) = 1.332 times 10^9 times 18 times 10^12 times 0.905 approx 1.332 times 10^9 times 1.25 times 10^-13 times 0.905
P(X = 3) approx 1.506 times 10^-4

Resposta

A probabilidade de que exatamente três trutas estejam em qualquer metro cúbico do lago é aproximadamente .

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