Duas mil trutas marrons são colocadas em um pequeno lago. O lago tem um volume de 20.000 metros cúbicos. Qual é a probabilidade de que três trutas sejam encontradas em qualquer metro cúbico do lago.
Passo 1
Tá, vamos lá! A gente tem 2000 trutas sendo colocadas num lago que tem 20.000 metros cúbicos. A pergunta é: qual a probabilidade de, em qualquer metro cúbico do lago, ter exatamente 3 trutas? Vamos precisar usar um pouco de probabilidade, especificamente a distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de “sucessos” acontecerem em um número fixo de tentativas, onde cada tentativa é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso. Aqui, cada “sucesso” é uma truta estar naquele metro cúbico específico.
Passo 3
Vamos definir os valores que vamos usar na fórmula da binomial:
- Número total de trutas,
- Número de trutas que queremos encontrar,
- Probabilidade de uma truta estar em um metro cúbico,
(porque o lago tem 20.000 m³)
Passo 4
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher
trutas entre
.
Passo 5
Vamos calcular o coeficiente binomial
:
Depois de calcular, isso dá aproximadamente
.
Passo 6
Agora, calculamos
.
Passo 7
Em seguida, calculamos
. Para simplificar, podemos usar a aproximação
onde
. Aqui,
, então
.
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Resposta
A probabilidade de que exatamente três trutas estejam em qualquer metro cúbico do lago é aproximadamente
.