Dois tipos de componentes elétricos são testados quanto a sua vida média. Considere que a durabilidade siga distribuição Normal para os dois tipos de componentes elétricos. (b) Construa um intervalo com 95 % de confiança para a verdadeira diferença média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre testar dois tipos de componentes elétricos e analisar a vida média deles. A gente vai trabalhar com distribuição Normal, que é a famosa curva em forma de sino. O que precisamos fazer aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença verdadeira entre as médias das duas populações. Ou seja, queremos ter 95% de certeza de que o intervalo que vamos calcular contém a verdadeira diferença das médias de vida desses componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para construir um intervalo de confiança para a diferença entre duas médias quando as populações seguem uma distribuição Normal. A fórmula é:
(barX1 - barX2) pm Zalpha/2 times raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Aqui:
  • e são as médias amostrais dos dois tipos de componentes.
  • é o valor crítico da distribuição Normal para o nível de confiança desejado (no nosso caso, 95%).
  • e são as variâncias das populações.
  • e são os tamanhos das amostras.

Passo 3

Agora, vamos identificar o valor de para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor corresponde a quantos desvios padrão a gente precisa considerar para capturar os 95% centrais da distribuição Normal. Para 95%, é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Com esses valores em mãos, a gente substitui na fórmula. Vamos supor que já temos os valores das médias amostrais, das variâncias e dos tamanhos das amostras para os dois tipos de componentes. Vamos chamar:
  • = média da amostra do tipo 1
  • = média da amostra do tipo 2
  • = variância da população do tipo 1
  • = variância da população do tipo 2
  • = tamanho da amostra do tipo 1
  • = tamanho da amostra do tipo 2

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula, vamos calcular a diferença entre as médias amostrais e o erro padrão da diferença. Depois, multiplicamos o erro padrão por 1,96 para encontrar a margem de erro.

Passo 6

Finalmente, somamos e subtraímos a margem de erro da diferença das médias amostrais. Isso nos dá o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença entre as médias das duas populações de componentes elétricos.

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença média entre as duas populações de componentes elétricos é dado por:
(barX1 - barX2) pm 1,96 times raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Esse intervalo nos dá a faixa na qual estamos 95% confiantes de que a verdadeira diferença das médias está localizada.

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