O número médio de acidentes por mês em certo cruzamento é 3 . Qual é a probabilidade de, em qualquer mês, um número de 4 acidentes ocorrerem nesse cruzamento? Qual é a probabilidade de que mais de 4 acidentes ocorram em qualquer mês no cruzamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me contou que em um certo cruzamento, em média, acontecem 3 acidentes por mês. A pergunta é: qual a probabilidade de, num mês qualquer, ocorrerem exatamente 4 acidentes? E qual a probabilidade de acontecerem mais de 4 acidentes nesse mês? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço, como acidentes por mês.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente uns dos outros.
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a taxa média de ocorrências (no nosso caso, 3 acidentes por mês).
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
  • é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de ocorrerem exatamente 4 acidentes em um mês.
Usando a fórmula:
P(4) = e^-3 times 3^44!
Primeiro, calculamos e^-3 approx 0,0498 :
3^4 = 81
Depois, calculamos 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24 :
P(4) = 0,0498 times 8124
E P(4) = 4,037824 (fatorial de 4):
P(4) approx 0,1682
Agora, substituímos na fórmula:
Então, a probabilidade de ocorrer exatamente 4 acidentes em um mês é de aproximadamente 16,82%.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de ocorrerem mais de 4 acidentes em um mês. Isso significa que queremos somar as probabilidades de ocorrerem 5, 6, 7, … acidentes, e assim por diante. Contudo, uma maneira mais fácil de calcular isso é usando o complemento: calcular 1 menos a probabilidade de ocorrerem até 4 acidentes (isto é, 0, 1, 2, 3 ou 4 acidentes).
Então:
P(mais de 4) = 1 - P(<= 4)
Para encontrar P(<= 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) , somamos as probabilidades de 0 a 4 acidentes:
P(0) = e^-3 times 3^00! = 0,0498 times 11 = 0,0498
Vamos calcular cada uma:
  1. Para 0 acidentes:
P(1) = e^-3 times 3^11! = 0,0498 times 31 = 0,1494
  1. Para 1 acidente:
P(2) = e^-3 times 3^22! = 0,0498 times 92 = 0,2240
  1. Para 2 acidentes:
P(3) = e^-3 times 3^33! = 0,0498 times 276 = 0,2240
  1. Para 3 acidentes:
P(4) approx 0,1682
  1. Já calculamos para 4 acidentes:
P(<= 4) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1682 = 0,8154
Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(mais de 4) = 1 - 0,8154 = 0,1846
Então,

Resposta

A probabilidade de ocorrerem exatamente 4 acidentes em um mês é de aproximadamente 16,82%, e a probabilidade de ocorrerem mais de 4 acidentes nesse mês é de aproximadamente 18,46%.

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