O número médio de acidentes por mês em certo cruzamento é 3 . Qual é a probabilidade de, em qualquer mês, um número de 4 acidentes ocorrerem nesse cruzamento? Qual é a probabilidade de que mais de 4 acidentes ocorram em qualquer mês no cruzamento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me contou que em um certo cruzamento, em média, acontecem 3 acidentes por mês. A pergunta é: qual a probabilidade de, num mês qualquer, ocorrerem exatamente 4 acidentes? E qual a probabilidade de acontecerem mais de 4 acidentes nesse mês? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço, como acidentes por mês.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente uns dos outros.
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos. -
é a taxa média de ocorrências (no nosso caso, 3 acidentes por mês). -
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828. -
é o fatorial de .
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de ocorrerem exatamente 4 acidentes em um mês.
Usando a fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
E
(fatorial de 4):
Agora, substituímos na fórmula:
Então, a probabilidade de ocorrer exatamente 4 acidentes em um mês é de aproximadamente 16,82%.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de ocorrerem mais de 4 acidentes em um mês. Isso significa que queremos somar as probabilidades de ocorrerem 5, 6, 7, … acidentes, e assim por diante. Contudo, uma maneira mais fácil de calcular isso é usando o complemento: calcular 1 menos a probabilidade de ocorrerem até 4 acidentes (isto é, 0, 1, 2, 3 ou 4 acidentes).
Então:
Para encontrar
, somamos as probabilidades de 0 a 4 acidentes:
Vamos calcular cada uma:
- Para 0 acidentes:
- Para 1 acidente:
- Para 2 acidentes:
- Para 3 acidentes:
- Já calculamos para 4 acidentes:
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Então,
Resposta
A probabilidade de ocorrerem exatamente 4 acidentes em um mês é de aproximadamente 16,82%, e a probabilidade de ocorrerem mais de 4 acidentes nesse mês é de aproximadamente 18,46%.