Considere o mesmo experimento da questão anterior. Determine a probabilidade do terceiro defeito encontrado ocorrer no sétimo componente testado. Indique o valor esperado do número de componentes testados até aparecer o terceiro defeito, bem como a variância desse número.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir três coisas sobre defeitos em componentes testados:
  1. Probabilidade do terceiro defeito ocorrer no sétimo componente.
  2. Valor esperado de componentes testados até aparecer o terceiro defeito.
  3. Variância desse número de componentes testados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial Negativa, que nos ajuda a modelar o número de tentativas até ocorrer um certo número de sucessos (nesse caso, defeitos).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Probabilidade Binomial Negativa. Ela nos dá a chance de alcançar o P(X = x) = binomx-1r-1 cdot p^r cdot (1-p)^x-r -ésimo sucesso na P(X = 7) = binom7-13-1 cdot p^3 cdot (1-p)^7-3 -ésima tentativa. A fórmula é:
P(X = 7) = binom62 cdot p^3 cdot (1-p)^4
Onde:
  • binom62 = 6!2!(6-2)! = 15 é o número de sucessos desejados (3 defeitos).
  • P(X = 7) = 15 cdot p^3 cdot (1-p)^4 é a tentativa na qual ocorre o -ésimo sucesso (7 componentes).
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (probabilidade de defeito).
Aplicando os valores:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado E[X] = rp , que nos diz, em média, quantos componentes precisamos testar até encontrar o terceiro defeito. A fórmula da distribuição binomial negativa para o valor esperado é:
E[X] = 3p
Substituindo :

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a variância Var(X) = r(1-p)p^2 , que mede a dispersão dos dados em torno da média. A fórmula para a variância na distribuição binomial negativa é:
Var(X) = 3(1-p)p^2
Substituindo :

Resposta

A probabilidade do terceiro defeito ocorrer no sétimo componente testado é:
P(X = 7) = 15 cdot p^3 cdot (1-p)^4
O valor esperado do número de componentes testados até aparecer o terceiro defeito é:
E[X] = 3p
E a variância desse número é:
Var(X) = 3(1-p)p^2

Exercícios relacionados