Considere o mesmo experimento da questão anterior. Determine a probabilidade do terceiro defeito encontrado ocorrer no sétimo componente testado. Indique o valor esperado do número de componentes testados até aparecer o terceiro defeito, bem como a variância desse número.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir três coisas sobre defeitos em componentes testados:
- Probabilidade do terceiro defeito ocorrer no sétimo componente.
- Valor esperado de componentes testados até aparecer o terceiro defeito.
- Variância desse número de componentes testados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial Negativa, que nos ajuda a modelar o número de tentativas até ocorrer um certo número de sucessos (nesse caso, defeitos).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Probabilidade Binomial Negativa. Ela nos dá a chance de alcançar o
-ésimo sucesso na
-ésima tentativa. A fórmula é:
Onde:
-
é o número de sucessos desejados (3 defeitos). -
é a tentativa na qual ocorre o -ésimo sucesso (7 componentes). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (probabilidade de defeito).
Aplicando os valores:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado
, que nos diz, em média, quantos componentes precisamos testar até encontrar o terceiro defeito. A fórmula da distribuição binomial negativa para o valor esperado é:
Substituindo
:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a variância
, que mede a dispersão dos dados em torno da média. A fórmula para a variância na distribuição binomial negativa é:
Substituindo
:
Resposta
A probabilidade do terceiro defeito ocorrer no sétimo componente testado é:
O valor esperado do número de componentes testados até aparecer o terceiro defeito é:
E a variância desse número é: