Uma máquina fabrica chapas de metal com espessura média de 8 mm e desvio padrão de 0,3 mm. Verifica-se que 8 % das chapas estão sendo rejeitadas por estarem muito espessas e 8 % por estarem pouco espessas. Admitindo que a espessura dessas chapas segue uma distribuição Normal, pergunta-se:
Suponha que é possível reduzir a variabilidade na espessura das chapas. Em que valor o desvio padrão deve ser mantido para que, aproximadamente, 95 % das chapas estejam dentro das especificações? (Resposta: sigma=0,214 )

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma máquina que fabrica chapas de metal com uma espessura média de 8 mm e um desvio padrão de 0,3 mm. Atualmente, 8% das chapas estão sendo rejeitadas por serem muito espessas e 8% por serem muito finas. Queremos descobrir qual deve ser o novo desvio padrão para que aproximadamente 95% das chapas fiquem dentro das especificações, ou seja, não sejam rejeitadas. Para resolver isso, vamos usar a distribuição Normal e entender conceitos como média, desvio padrão e a área sob a curva dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição Normal. É uma curva em forma de sino onde a maioria dos valores está próxima da média, e os desvios padrão indicam quão espalhados os valores estão ao redor dessa média. Na nossa situação, a média é 8 mm e o desvio padrão inicial é 0,3 mm.

Passo 3

Atualmente, 8% das chapas são rejeitadas por estarem muito espessas e 8% por estarem muito finas. Isso significa que 16% das chapas estão fora das especificações, e 84% estão dentro. Queremos aumentar essa porcentagem para 95%, ou seja, reduzir os rejeitos para 5%.

Passo 4

Para que 95% das chapas fiquem dentro das especificações, precisamos encontrar o novo desvio padrão que corresponde a esse intervalo. Na distribuição Normal, aproximadamente 95% dos dados estão dentro de 1,96 desvios padrão da média. Então, queremos que a diferença entre a média e os limites de especificação seja igual a 1,96 vezes o novo desvio padrão.

Passo 5

Sabemos que atualmente, 8% das chapas estão sendo rejeitadas. Na distribuição Normal, isso corresponde a valores z (pontuações padronizadas) que podemos encontrar usando tabelas ou calculadoras. Para 8%, o valor z é aproximadamente 1,405. Esse valor nos ajuda a determinar a largura atual do intervalo de aceitação.

Passo 6

Agora, queremos que 95% das chapas estejam dentro das especificações, ou seja, que a diferença entre a média (8 mm) e os limites seja 1,96 vezes o novo desvio padrão (σ). Então, podemos escrever a equação:
1,96 times sigma = 8 , mm - (8 , mm - 1,405 times 0,3 , mm)
Resolvendo essa equação para σ, encontramos:
sigma = 0,3 times 1,4051,96 approx 0,214 , mm

Resposta

O desvio padrão deve ser mantido em aproximadamente sigma = 0,214 , mm para que cerca de 95 % das chapas estejam dentro das especificações.

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