Considere a expressão [(x+2)^2]^n, com n natural. Pode-se afirmar corretamente que:
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
b) Se n=1, a expressão será idêntica a x^2+4.
c) Se n=2, o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.
d) Para qualquer valor de n , todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2 .

Passo 1

Estamos analisando a expressão [(x+2)^2]^n, onde n é um número natural. O conteúdo envolvido aqui é o desenvolvimento de potências de binômios, utilizando o Teorema Binomial. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Newton para expandir a expressão e, em seguida, verificar cada uma das afirmações apresentadas.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão [(x+2)^2]^n para facilitar o desenvolvimento. Sabemos que [(x+2)^2]^n = (x+2)^2n. Agora, vamos aplicar o Teorema Binomial para expandir (x+2)^2n.

Passo 3

O Teorema Binomial nos diz que (a + b)^k = sumi=0^k binomki a^k-i b^i. Aplicando isso à nossa expressão, temos:
(x + 2)^2n = sumi=0^2n binom2ni x^2n - i cdot 2^i
Isso significa que o desenvolvimento terá (2n + 1) termos, já que i varia de 0 a 2n.

Passo 4

Vamos analisar cada uma das afirmações:
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
Como vimos no Passo 3, o número de termos é (2n + 1). Para qualquer número natural n, (2n + 1) é sempre ímpar. Portanto, essa afirmação é falsa.
b) Se n=1, a expressão será idêntica a x^2+4.
Substituindo n=1 na expressão original:
[(x+2)^2]^1 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
Portanto, a expressão resulta em x^2 + 4x + 4, não apenas x^2 + 4. Essa afirmação é falsa.
c) Se n=2, o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.
Para n=2:
(x+2)^4
O número de termos será (2 times 2 + 1) = 5. Então, essa afirmação é verdadeira.
d) Para qualquer valor de n, todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
Os coeficientes são binom2ni cdot 2^i. O termo 2^i é sempre par para i >= 1, mas quando i=0, 2^0 = 1, que é ímpar. Então, o primeiro coeficiente é ímpar, e os demais são pares. Portanto, essa afirmação é falsa.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2.
A soma dos coeficientes de (x + 2)^2n é obtida substituindo x=1:
(1 + 2)^2n = 3^2n = 9^n
9^n não é uma potência de 2 a menos que n=0, o que não está no domínio dos números naturais considerados. Portanto, essa afirmação é falsa.

Resposta

A única afirmação correta é a c) Se n=2, o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.

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