Considere a expressão
, com
natural. Pode-se afirmar corretamente que:
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
b) Se
, a expressão será idêntica a
.
c) Se
, o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.
d) Para qualquer valor de n , todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2 .
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
b) Se
c) Se
d) Para qualquer valor de n , todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2 .
Passo 1
Estamos analisando a expressão
, onde
é um número natural. O conteúdo envolvido aqui é o desenvolvimento de potências de binômios, utilizando o Teorema Binomial. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Newton para expandir a expressão e, em seguida, verificar cada uma das afirmações apresentadas.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão
para facilitar o desenvolvimento. Sabemos que
. Agora, vamos aplicar o Teorema Binomial para expandir
.
Passo 3
O Teorema Binomial nos diz que
. Aplicando isso à nossa expressão, temos:
Isso significa que o desenvolvimento terá
termos, já que
varia de
a
.
Passo 4
Vamos analisar cada uma das afirmações:
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
Como vimos no Passo 3, o número de termos é
. Para qualquer número natural
,
é sempre ímpar. Portanto, essa afirmação é falsa.
b) Se
, a expressão será idêntica a
.
Substituindo
na expressão original:
Portanto, a expressão resulta em
, não apenas
. Essa afirmação é falsa.
c) Se
, o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.
Para
:
O número de termos será
. Então, essa afirmação é verdadeira.
d) Para qualquer valor de n, todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
Os coeficientes são
. O termo
é sempre par para
, mas quando
,
, que é ímpar. Então, o primeiro coeficiente é ímpar, e os demais são pares. Portanto, essa afirmação é falsa.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2.
A soma dos coeficientes de
é obtida substituindo
:
Resposta
A única afirmação correta é a c) Se
, o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.