Seja uma variável aleatória com função de densidade constante na região . Determine:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória com uma função de densidade constante na região . O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade Condicional e Funções de Densidade. Para resolver a parte c), que é encontrar , a gente vai precisar entender como calcular uma função de densidade condicional quando temos uma densidade conjunta uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de densidade constante significa que a probabilidade está distribuída igualmente em toda a região . Para achar a densidade conjunta, precisamos saber a área dessa região.
A área de é dada pela integral dupla:
Á
Calculando isso:
Á
Então, a função de densidade conjunta é constante e igual a:
Á

Passo 3

Para encontrar , precisamos usar a definição de densidade condicional:
Primeiro, vamos calcular . Isso é a probabilidade de que seja maior que 1 na região .

Passo 4

Para , temos que . Mas isso só faz sentido se , ou seja, , já que é positivo.
Então, a área onde é:
Á
Calculando isso:
Á
Portanto, ÁÁ.

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que é na região .
Para , a densidade conjunta condicional é quando e , e zero caso contrário.

Passo 6

A densidade condicional é então:
Mas isso é válido apenas para , já que para , a probabilidade é zero.

Passo 7

Finalmente, a função de densidade condicional fica:
á

Resposta

A função de densidade condicional é:
á

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a)
b)
c)
d)
e)
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c)