Seja (X, Y) uma variável aleatória com função de densidade constante na região A=(x, y) / 0. Determine:
c) f(X / Y>1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória com uma função de densidade constante na região . O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade Condicional e Funções de Densidade. Para resolver a parte c), que é encontrar , a gente vai precisar entender como calcular uma função de densidade condicional quando temos uma densidade conjunta uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de densidade constante significa que a probabilidade está distribuída igualmente em toda a região Área de A = integral0^2 integral0^x^2 dy, dx . Para achar a densidade conjunta, precisamos saber a área dessa região.
A área de Área de A = integral0^2 x^2 dx = [x^33]0^2 = 83 é dada pela integral dupla:
fX,Y(x, y) = 1Área de A = 38 Á
Calculando isso:
Á
Então, a função de densidade conjunta é constante e igual a:
Á

Passo 3

Para encontrar f(X mid Y > 1) = fX,Y(x, Y > 1)P(Y > 1) , precisamos usar a definição de densidade condicional:
Primeiro, vamos calcular . Isso é a probabilidade de que seja maior que 1 na região .

Passo 4

Para Área onde Y > 1 = integral1^2 integral1^x^2 dy, dx , temos que Área onde Y > 1 = integral1^2 (x^2 - 1) dx = [x^33 - x]1^2 = (83 - 2) - (13 - 1) = (23) - (-23) = 43 . Mas isso só faz sentido se , ou seja, , já que é positivo.
Então, a área onde é:
Á
Calculando isso:
Á
Portanto, ÁÁ.

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que é na região .
Para , a densidade conjunta condicional é quando e , e zero caso contrário.

Passo 6

A densidade condicional f(X mid Y > 1) = fX,Y(x, Y > 1)P(Y > 1) = 3812 = 34 é então:
Mas isso é válido apenas para , já que para , a probabilidade é zero.

Passo 7

Finalmente, a função de densidade condicional fica:
f(X mid Y > 1) = 34 & se 1 < x < 2 0 & caso contrário á

Resposta

A função de densidade condicional é:
f(X mid Y > 1) = 34 & se 1 < x < 2 0 & caso contrário á

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