Seja
uma variável aleatória com função de densidade constante na região
. Determine:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória
com uma função de densidade constante na região
. O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade Condicional e Funções de Densidade. Para resolver a parte c), que é encontrar
, a gente vai precisar entender como calcular uma função de densidade condicional quando temos uma densidade conjunta uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de densidade constante significa que a probabilidade está distribuída igualmente em toda a região
. Para achar a densidade conjunta, precisamos saber a área dessa região.
A área de
é dada pela integral dupla:
Calculando isso:
Então, a função de densidade conjunta
é constante e igual a:
Passo 3
Para encontrar
, precisamos usar a definição de densidade condicional:
Primeiro, vamos calcular
. Isso é a probabilidade de que
seja maior que 1 na região
.
Passo 4
Para
, temos que
. Mas isso só faz sentido se
, ou seja,
, já que
é positivo.
Então, a área onde
é:
Calculando isso:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que
é
na região
.
Para
, a densidade conjunta condicional é
quando
e
, e zero caso contrário.
Passo 6
A densidade condicional
é então:
Mas isso é válido apenas para
, já que para
, a probabilidade
é zero.
Passo 7
Finalmente, a função de densidade condicional fica:
Resposta
A função de densidade condicional é: