A variável aleatória bidimensional
tem densidade igual a
se
, e ZERO em caso contrário. Determine:
c)
c)
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma variável aleatória bidimensional
com a função densidade dada por
se
, e zero caso contrário. Nosso objetivo é calcular
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de esperança condicional e propriedades de integrais em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a esperança iterada
na verdade é igual a
. Isso é uma propriedade importante da esperança condicional, que nos permite simplificar nossos cálculos. Portanto, nosso foco será calcular
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a definição de esperança para variáveis aleatórias contínuas:
Isso significa que precisamos integrar
multiplicado pela função densidade conjunta
sobre todo o domínio de
e
.
Passo 4
Antes de prosseguir, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que
. Então, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Note que
pode ser tratado como constante em relação a
, permitindo-nos separar as integrais.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Aqui, simplificamos
para
e multiplicamos pelo limite de integração.
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Essa é uma integral simples de uma potência de
.
Passo 8
Calculamos a integral:
Multiplicando pela constante
:
A constante de integração
é descartada porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 9
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Resposta
Então,
.
Exercícios relacionados
Considere a expressão
, com
natural. Pode-se afirmar corretamente que:
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
b) Se , a expressão será idêntica a
.
c) Se , o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.
d) Para qualquer valor de n , todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2 .
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
b) Se
c) Se
d) Para qualquer valor de n , todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2 .
Seja
uma variável aleatória com função de densidade constante na região
. Determine:
c)
c)
O dado mais comum utilizado em jogos de tabuleiro é um cubo, em que cada face possui um número de 1 a 6 e duas faces opostas somadas devem resultar no valor 7 . O que muitas pessoas não conhecem é a existência de outros tipos de dados, que são: D4, D6, D8, D10, D12 e D20. Esses dados são utilizados nos jogos de RPG. A letra
significa dado e o número representa a quantidade de faces que o dado possui. Assim, o D4 possui 4 faces, o D12 possui 12 faces, e assim por diante. Todas as faces são numeradas identicamente ao dado de 6 faces. Dessa forma, ao lançarmos uma vez o dado D6, uma vez o dado D10 e uma vez o dado D12, qual a probabilidade de sair, em cada lançamento, números menores que 4 ?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Estimativa de Investimento Inicial
Uma usina solar requer os seguintes investimentos:
Uma usina solar requer os seguintes investimentos:
- Painéis solares:
- Inversores: R$400.000,00
- Estruturas de suporte e cabeamento: R$ 500.000,00
- Instalação e mão de obra: R$ 500.000,00
Calcule o investimento inicial total necessário para a instalação da usina solar.