A variável aleatória bidimensional tem densidade igual a
se , e ZERO em caso contrário. Determine:
c)

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma variável aleatória bidimensional com a função densidade dada por
se , e zero caso contrário. Nosso objetivo é calcular . Para isso, vamos precisar entender conceitos de esperança condicional e propriedades de integrais em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a esperança iterada na verdade é igual a . Isso é uma propriedade importante da esperança condicional, que nos permite simplificar nossos cálculos. Portanto, nosso foco será calcular .

Passo 3

Para encontrar , usamos a definição de esperança para variáveis aleatórias contínuas:
Isso significa que precisamos integrar multiplicado pela função densidade conjunta sobre todo o domínio de e .

Passo 4

Antes de prosseguir, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que . Então, para cada entre 0 e 1, varia de 0 até .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Note que pode ser tratado como constante em relação a , permitindo-nos separar as integrais.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Aqui, simplificamos para e multiplicamos pelo limite de integração.

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Essa é uma integral simples de uma potência de .

Passo 8

Calculamos a integral:
Multiplicando pela constante :
A constante de integração é descartada porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 9

Aplicamos os limites de 0 a 1:

Resposta

Então, .

Exercícios relacionados

Considere a expressão , com natural. Pode-se afirmar corretamente que:
a) Independentemente do valor de n, o desenvolvimento da expressão sempre terá uma quantidade par de termos.
b) Se , a expressão será idêntica a .
c) Se , o desenvolvimento da expressão terá 5 termos.
d) Para qualquer valor de n , todos os coeficientes do desenvolvimento serão pares.
e) Independentemente do valor de n, a soma dos coeficientes será sempre uma potência de 2 .
Seja uma variável aleatória com função de densidade constante na região . Determine:
c)
O dado mais comum utilizado em jogos de tabuleiro é um cubo, em que cada face possui um número de 1 a 6 e duas faces opostas somadas devem resultar no valor 7 . O que muitas pessoas não conhecem é a existência de outros tipos de dados, que são: D4, D6, D8, D10, D12 e D20. Esses dados são utilizados nos jogos de RPG. A letra significa dado e o número representa a quantidade de faces que o dado possui. Assim, o D4 possui 4 faces, o D12 possui 12 faces, e assim por diante. Todas as faces são numeradas identicamente ao dado de 6 faces. Dessa forma, ao lançarmos uma vez o dado D6, uma vez o dado D10 e uma vez o dado D12, qual a probabilidade de sair, em cada lançamento, números menores que 4 ?
a)
b)
c)
d)
e)
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Uma usina solar requer os seguintes investimentos:
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