A variável aleatória bidimensional
tem densidade igual a
se
, e ZERO em caso contrário. Determine:
c)
c)
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma variável aleatória bidimensional
com a função densidade dada por
se
, e zero caso contrário. Nosso objetivo é calcular
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de esperança condicional e propriedades de integrais em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a esperança iterada
na verdade é igual a
. Isso é uma propriedade importante da esperança condicional, que nos permite simplificar nossos cálculos. Portanto, nosso foco será calcular
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a definição de esperança para variáveis aleatórias contínuas:
Isso significa que precisamos integrar
multiplicado pela função densidade conjunta
sobre todo o domínio de
e
.
Passo 4
Antes de prosseguir, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que
. Então, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Note que
pode ser tratado como constante em relação a
, permitindo-nos separar as integrais.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Aqui, simplificamos
para
e multiplicamos pelo limite de integração.
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Essa é uma integral simples de uma potência de
.
Passo 8
Calculamos a integral:
Multiplicando pela constante
:
A constante de integração
é descartada porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 9
Aplicamos os limites de 0 a 1:
Resposta
Então,
.