A variável aleatória bidimensional (X, Y) tem densidade igual a
f(x, y)=32 raizx
se 0, e ZERO em caso contrário. Determine:
c) E(E(X / Y))

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma variável aleatória bidimensional f(x, y) = 32 raizx com a função densidade dada por
se , e zero caso contrário. Nosso objetivo é calcular . Para isso, vamos precisar entender conceitos de esperança condicional e propriedades de integrais em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a esperança iterada na verdade é igual a . Isso é uma propriedade importante da esperança condicional, que nos permite simplificar nossos cálculos. Portanto, nosso foco será calcular .

Passo 3

Para encontrar E(X) = integral integral x , f(x, y) , dy , dx , usamos a definição de esperança para variáveis aleatórias contínuas:
Isso significa que precisamos integrar multiplicado pela função densidade conjunta sobre todo o domínio de e .

Passo 4

Antes de prosseguir, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que . Então, para cada entre 0 e 1, varia de 0 até .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
E(X) = integralx=0^1 integraly=0^x x cdot 32 raizx , dy , dx
Note que pode ser tratado como constante em relação a , permitindo-nos separar as integrais.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integraly=0^x 3x2 raizx , dy = 3x2 raizx cdot integral0^x dy = 3x2 raizx cdot x = 3x^22 raizx = 3x^3/22 :
Aqui, simplificamos para e multiplicamos pelo limite de integração.

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
E(X) = integral0^1 3x^3/22 , dx
Essa é uma integral simples de uma potência de .

Passo 8

Calculamos a integral:
integral x^3/2 , dx = 25 x^5/2 + C
Multiplicando pela constante 32 cdot 25 x^5/2 = 35 x^5/2 :
A constante de integração é descartada porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 9

Aplicamos os limites de 0 a 1:
E(X) = [ 35 x^5/2 ]0^1 = 35 (1)^5/2 - 35 (0)^5/2 = 35 - 0 = 35

Resposta

Então, .

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