Considere a função f(x)=1x^2-1, definida para todo x in R, com x neq pm 1.
Utilize frações parciais para calcular integral2^3 f(x) d x.
(10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos a função e queremos calcular a integral definida dessa função no intervalo de 2 a 3 usando frações parciais. Frações parciais é uma técnica que ajuda a quebrar funções racionais (como essa que temos) em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função em frações menores e depois integrar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) em frações parciais. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
1x^2 - 1 = Ax - 1 + Bx + 1
Então, podemos escrever a fração como:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 1 = A(x + 1) + B(x - 1) e 1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) 1 = 2A A = 12 , vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) 1 = -2B B = -12 :
1x^2 - 1 = 1/2x - 1 - 1/2x + 1
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. Para :
  1. Para :
Então, temos:

Passo 4

Agora que a gente decompoe a fração, vamos integrar cada termo separadamente. A integral fica:
integral 1x^2 - 1 , dx = 12 integral 1x - 1 , dx - 12 integral 1x + 1 , dx
Lembrando que a integral de 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C é , temos:
Como estamos calculando uma integral definida de 2 a 3, o (constante de integração) não é necessário.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral definida de 2 a 3 usando a expressão que encontramos:
[ 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| ]2^3
Substituindo os limites:
Para 12 ln(3 - 1) - 12 ln(3 + 1) = 12 ln(2) - 12 ln(4) :
12 ln(2 - 1) - 12 ln(2 + 1) = 12 ln(1) - 12 ln(3) = 0 - 12 ln(3)
Para ( 12 ln(2) - 12 ln(4) ) - ( -12 ln(3) ) = 12 ln(2) - 12 ln(4) + 12 ln(3) :
12 ln(2) - 12 times 2 ln(2) + 12 ln(3) = 12 ln(2) - ln(2) + 12 ln(3) = -12 ln(2) + 12 ln(3)
Agora, subtraindo os dois resultados:
12 ( ln(3) - ln(2) ) = 12 ln( 32 )
Simplificando como :
Podemos fatorar o :

Resposta

A integral é igual a .

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