Considere a função
, definida para todo
.
Utilize frações parciais para calcular
.
(10 pontos)
Utilize frações parciais para calcular
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos a função
e queremos calcular a integral definida dessa função no intervalo de 2 a 3 usando frações parciais. Frações parciais é uma técnica que ajuda a quebrar funções racionais (como essa que temos) em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função em frações menores e depois integrar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função
em frações parciais. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Então, podemos escrever a fração como:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Então, temos:
Passo 4
Agora que a gente decompoe a fração, vamos integrar cada termo separadamente. A integral fica:
Lembrando que a integral de
é
, temos:
Como estamos calculando uma integral definida de 2 a 3, o
(constante de integração) não é necessário.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral definida de 2 a 3 usando a expressão que encontramos:
Substituindo os limites:
Para
:
Para
:
Agora, subtraindo os dois resultados:
Simplificando
como
:
Podemos fatorar o
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
(0.5 pt.) Determine os conjuntos domínio e imagem de
.
(0.
) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
Considere a função
, definida para todo
.
Interprete graficamente o significado do resultado obtido em (b).
(10 pontos)
Interprete graficamente o significado do resultado obtido em (b).
(10 pontos)
Calcule
de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição ;
(20 pontos)
Fazendo a substituição
(20 pontos)