Considere a função , definida para todo .
Utilize frações parciais para calcular .
(10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos a função e queremos calcular a integral definida dessa função no intervalo de 2 a 3 usando frações parciais. Frações parciais é uma técnica que ajuda a quebrar funções racionais (como essa que temos) em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função em frações menores e depois integrar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Então, podemos escrever a fração como:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. Para :
  1. Para :
Então, temos:

Passo 4

Agora que a gente decompoe a fração, vamos integrar cada termo separadamente. A integral fica:
Lembrando que a integral de é , temos:
Como estamos calculando uma integral definida de 2 a 3, o (constante de integração) não é necessário.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral definida de 2 a 3 usando a expressão que encontramos:
Substituindo os limites:
Para :
Para :
Agora, subtraindo os dois resultados:
Simplificando como :
Podemos fatorar o :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

(0.5 pt.) Determine os conjuntos domínio e imagem de .
(0. ) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de .
Considere a função , definida para todo .
Interprete graficamente o significado do resultado obtido em (b).
(10 pontos)
Calcule de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição ;
(20 pontos)