Calcule
de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição
;
(20 pontos)
Fazendo a substituição
(20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral: calcular . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na área de integração por substituição. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, definindo .
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Aqui, vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de é
, que já está presente na integral original.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar :
Isso implica que:
Perfeito! Agora podemos substituir
e
na nossa integral original.
Passo 4
Substituindo e
na integral, temos:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta pela expressão original, que é :
Ou seja:
Resposta
A integral é igual a: