Calcule de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição ;
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral: calcular . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na área de integração por substituição. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, definindo .

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Aqui, vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de é , que já está presente na integral original.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Vamos derivar :
Isso implica que:
Perfeito! Agora podemos substituir e na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo e na integral, temos:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta pela expressão original, que é :
Ou seja:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Considere a função , definida para todo .
Interprete graficamente o significado do resultado obtido em (b).
(10 pontos)
Considere a função , definida para todo .
Utilize frações parciais para calcular .
(10 pontos)
Calcule de 4 maneiras distintas:
Usando a identidade .
(20 pontos)
Os resultados das integrações no item anterior são iguais? Justifique.
(10 pontos)