Calcule integral sen x cos x d x de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição u=sen x;
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral: calcular . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na área de integração por substituição. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, definindo .

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Aqui, vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de é u = sen x , que já está presente na integral original.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = cos x em relação a du = cos x , dx , ou seja, . Vamos derivar :
Isso implica que:
Perfeito! Agora podemos substituir e na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo e integral sen x cos x , dx = integral u , du na integral, temos:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u , du = u^22 + C . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u^22 + C = (sen x)^22 + C de volta pela expressão original, que é :
Ou seja:

Resposta

A integral é igual a:

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