Considere a função , definida para todo .
Interprete graficamente o significado do resultado obtido em (b).
(10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. Temos a função , que está definida para todo número real, exceto quando (porque aí o denominador dá zero e a função não está definida). O exercício quer que a gente interprete graficamente um resultado que foi obtido na parte (b). Provavelmente, esse resultado tem a ver com as assíntotas da função ou com seu comportamento geral no gráfico. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como elas influenciam o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima cada vez mais, mas nunca toca. Existem dois tipos principais: assíntotas verticais e assíntotas horizontais.

Passo 3

Vamos identificar as assíntotas verticais da função . As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, pois nesses pontos a função não está definida e o gráfico “bate” na vertical da função.
Resolvendo , temos:
Então, as assíntotas verticais são as linhas e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando cresce positivamente ou negativamente, ou seja, quando vai para ou .
Para , quando fica muito grande (positivo ou negativo), domina o -1, então:
E sabemos que tende a 0 quando tende a . Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Com essas informações, podemos interpretar graficamente o significado do resultado obtido em (b). Supondo que em (b) tenhamos encontrado as assíntotas verticais e e a assíntota horizontal , isso significa que:
  • O gráfico da função se aproxima das linhas verticais e mas nunca as toca.
  • O gráfico também se aproxima da linha horizontal (o eixo x) quando vai para mais ou menos infinito.

Resposta

O resultado obtido em (b) nos mostra que o gráfico de possui assíntotas verticais nas linhas e e uma assíntota horizontal na linha . Graficamente, isso significa que o gráfico da função se aproxima dessas linhas (vertical e horizontal) sem jamais tocá-las, definindo assim o comportamento da função próximo desses valores de e para valores de muito grandes ou muito pequenos.

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