Considere a função
, definida para todo
.
Interprete graficamente o significado do resultado obtido em (b).
(10 pontos)
Interprete graficamente o significado do resultado obtido em (b).
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. Temos a função
, que está definida para todo número real, exceto quando
(porque aí o denominador dá zero e a função não está definida). O exercício quer que a gente interprete graficamente um resultado que foi obtido na parte (b). Provavelmente, esse resultado tem a ver com as assíntotas da função ou com seu comportamento geral no gráfico. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como elas influenciam o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima cada vez mais, mas nunca toca. Existem dois tipos principais: assíntotas verticais e assíntotas horizontais.
Passo 3
Vamos identificar as assíntotas verticais da função
. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, pois nesses pontos a função não está definida e o gráfico “bate” na vertical da função.
Resolvendo
, temos:
Então, as assíntotas verticais são as linhas
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
cresce positivamente ou negativamente, ou seja, quando
vai para
ou
.
Para
, quando
fica muito grande (positivo ou negativo),
domina o -1, então:
E sabemos que
tende a 0 quando
tende a
. Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Com essas informações, podemos interpretar graficamente o significado do resultado obtido em (b). Supondo que em (b) tenhamos encontrado as assíntotas verticais
e
e a assíntota horizontal
, isso significa que:
- O gráfico da função se aproxima das linhas verticais
e mas nunca as toca. - O gráfico também se aproxima da linha horizontal
(o eixo x) quando vai para mais ou menos infinito.
Resposta
O resultado obtido em (b) nos mostra que o gráfico de
possui assíntotas verticais nas linhas
e
e uma assíntota horizontal na linha
. Graficamente, isso significa que o gráfico da função se aproxima dessas linhas (vertical e horizontal) sem jamais tocá-las, definindo assim o comportamento da função próximo desses valores de
e para valores de
muito grandes ou muito pequenos.
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.
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.
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Usando a identidade .
(20 pontos)
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