Considere a função
. Determine o valor de
para o qual a região delimitada pelo gráfico de
e pelas retas
e
possua área igual a 3. a.
b.
d.
e.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{2}{x} $ e precisamos encontrar o valor de $ b $ tal que a área delimitada por essa função, pelo eixo $ y=0 $ (que é o eixo $ x $), e pelas retas $ x=1 $ e $ x=b $ seja igual a 3. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a área que queremos calcular. Ela está limitada pelas retas $ x=1 $ e $ x=b $, pelo eixo $ x $ (onde $ y=0 $) e pela curva da função $ f(x) = \frac{2}{x} $.
Passo 3
A área $ A $ sob a curva entre $ x=1 $ e $ x=b $ é calculada pela integral definida da função nesse intervalo. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| + C $. Portanto:
E como $ \ln 1 = 0 $, simplificamos para:
Passo 5
A questão informa que essa área deve ser igual a 3. Então, temos a equação:
Passo 6
Vamos resolver para $ b $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 7
Para encontrar $ b $, usamos a propriedade dos logaritmos que relaciona logaritmo natural e exponenciais. Se $ \ln b = \frac{3}{2} $, então:
Resposta
A alternativa correta é a letra c. $ b = e^{\frac{3}{2}} $.