Considere a função b=3 e2 . Determine o valor de para o qual a região delimitada pelo gráfico de e pelas retas e possua área igual a 3. a. b. d. e.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{2}{x} $ e precisamos encontrar o valor de $ b $ tal que a área delimitada por essa função, pelo eixo $ y=0 $ (que é o eixo $ x $), e pelas retas $ x=1 $ e $ x=b $ seja igual a 3. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a área que queremos calcular. Ela está limitada pelas retas $ x=1 $ e $ x=b $, pelo eixo $ x $ (onde $ y=0 $) e pela curva da função $ f(x) = \frac{2}{x} $.

Passo 3

A área $ A $ sob a curva entre $ x=1 $ e $ x=b $ é calculada pela integral definida da função nesse intervalo. Então, temos:
A

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| + C $. Portanto:
1x
E como $ \ln 1 = 0 $, simplificamos para:
ln|x| + C

Passo 5

A questão informa que essa área deve ser igual a 3. Então, temos a equação:
2 ln b = 3

Passo 6

Vamos resolver para $ b $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 2:
b

Passo 7

Para encontrar $ b $, usamos a propriedade dos logaritmos que relaciona logaritmo natural e exponenciais. Se $ \ln b = \frac{3}{2} $, então:
b

Resposta

A alternativa correta é a letra c. $ b = e^{\frac{3}{2}} $.

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