Um fazendeiro deseja fazer um galinheiro retangular encostado ao muro com orçamento de r$800,00. O material da cerca do lado paralelo ao muro custa r$5,00 por metro e o material dos outros dois lados da cerca custa r$10,00 por metro. quais são as dimensões dos lados desse cercado para que ele possua a maior área possível com custo de r$800,00?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um fazendeiro que quer construir um galinheiro retangular encostado no muro, com um orçamento de R$800,00. O material para a cerca que fica paralela ao muro custa R$5,00 por metro, e o material para os outros dois lados custa R$10,00 por metro. Nosso objetivo aqui é descobrir quais devem ser as dimensões desse galinheiro para que ele tenha a maior área possível dentro desse orçamento.
Vamos usar um pouco de matemática de otimização para resolver isso, basicamente encontrando os valores que maximizam a área, considerando as restrições de custo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de $ x $ a largura do galinheiro (os lados que ficam perpendicular ao muro) e de $ y $ o comprimento (a parte paralela ao muro). A área do galinheiro será $ A = x \times y $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo da cerca. A cerca paralela ao muro (comprimento $ y $) custa R$5,00 por metro, então o custo dessa parte é $ 5y $. As outras duas cercas (largura $ x $) custam R$10,00 por metro cada, totalizando $ 10x \times 2 = 20x $.
Passo 4
Sabemos que o total gasto com as cercas não pode exceder R$800,00. Então, podemos escrever a equação do custo total:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 5 para facilitar:
Agora, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar $ y $:
Passo 6
Agora, voltamos à fórmula da área $ A = x \times y $ e substituímos $ y $ pela expressão que encontramos:
Passo 7
Nossa função para a área é $ A(x) = -4x^2 + 160x $. Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a área, podemos calcular o vértice dessa parábola. A fórmula para encontrar a coordenada $ x $ do vértice de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ é:
No nosso caso, $ a = -4 $ e $ b = 160 $:
Passo 8
Agora que temos $ x = 20 $ metros, vamos encontrar $ y $ usando a equação que encontramos antes:
Passo 9
Então, as dimensões que maximizam a área do galinheiro, dentro do orçamento de R$800,00, são:
- Largura ($ x $): 20 metros
- Comprimento ($ y $): 80 metros
Resposta
As dimensões ideais são 20 metros de largura e 80 metros de comprimento.