Considere a função f: R^2 -> R, dada por f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2
Encontre o valor de

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A função que a gente tem é . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor mínimo dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela é uma função quadrática de duas variáveis, e . Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que seja o menor possível. Isso geralmente envolve encontrar os pontos onde as derivadas parciais se igualam a zero, conhecidos como pontos críticos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e a . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Perceba que as duas equações são iguais, o que significa que há infinitas soluções que satisfazem .

Passo 5

Para encontrar o mínimo da função, vamos substituir na função original:

Passo 6

Então, quando , a função vale zero. Esse é o menor valor que a função pode assumir, já que qualquer outro par resultaria em um valor positivo.

Resposta

O valor mínimo de é , alcançado quando .

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