Considere a função
, dada por
Encontre o valor de
Encontre o valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A função que a gente tem é
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor mínimo dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela é uma função quadrática de duas variáveis,
e
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem com que
seja o menor possível. Isso geralmente envolve encontrar os pontos onde as derivadas parciais se igualam a zero, conhecidos como pontos críticos.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e a
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Perceba que as duas equações são iguais, o que significa que há infinitas soluções que satisfazem
.
Passo 5
Para encontrar o mínimo da função, vamos substituir
na função original:
Passo 6
Então, quando
, a função
vale zero. Esse é o menor valor que a função pode assumir, já que qualquer outro par
resultaria em um valor positivo.
Resposta
O valor mínimo de
é
, alcançado quando
.