Partindo da série geométrica, determine a expansão em série de potências em torno da origem para (i)
; (ii)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para expandir duas funções em séries de potências usando a série geométrica. Isso significa que vamos transformar as funções dadas em somas infinitas de termos com potências de
. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série geométrica e saber como aplicar integração a séries.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na função
. A série geométrica básica é:
Nosso objetivo é manipular
para se parecer com a forma da série geométrica. Observamos que:
Aqui,
. Assim, podemos aplicar a fórmula da série geométrica.
Passo 3
Substituindo
na série geométrica, temos:
Isso significa que:
Essa é a expansão em série de potências para
.
Passo 4
Agora, vamos para a função
. Já sabemos que
pode ser escrita como uma série:
Então, podemos integrar essa série termo a termo.
Passo 5
Integrando a série de
:
Podemos trocar a ordem da soma e da integração:
Passo 6
Calculando a integral de cada termo:
Então, substituindo de volta na soma:
Resposta
A expansão em série de potências em torno da origem é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das séries de termos positivos abaixo, verifique se a série converge, indicando o teste de convergência/divergência usado e justificando em detalhe.
Determine o raio de convergência
das séries de potências
Para a função
, use a expansão para
obtida em (a) para calcular
e
. Aqui,
denota a derivada de
-ésima ordem de
. Justifique.
Considere a função
, dada por
Encontre o valor de
Encontre o valor de