Partindo da série geométrica, determine a expansão em série de potências em torno da origem para (i) f(x)=11+x^4; (ii) g(x)=integral0^x 11+t^4 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para expandir duas funções em séries de potências usando a série geométrica. Isso significa que vamos transformar as funções dadas em somas infinitas de termos com potências de . Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série geométrica e saber como aplicar integração a séries.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função 11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1 . A série geométrica básica é:
11 + x^4 = 11 - (-x^4)
Nosso objetivo é manipular para se parecer com a forma da série geométrica. Observamos que:
Aqui, . Assim, podemos aplicar a fórmula da série geométrica.

Passo 3

Substituindo 11 + x^4 = 11 - (-x^4) = sumn=0^infty (-x^4)^n na série geométrica, temos:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n
Isso significa que:
Essa é a expansão em série de potências para .

Passo 4

Agora, vamos para a função 11 + t^4 = sumn=0^infty (-1)^n t^4n . Já sabemos que pode ser escrita como uma série:
Então, podemos integrar essa série termo a termo.

Passo 5

Integrando a série de g(x) = integral0^x sumn=0^infty (-1)^n t^4n dt :
g(x) = sumn=0^infty (-1)^n integral0^x t^4n dt
Podemos trocar a ordem da soma e da integração:

Passo 6

Calculando a integral de cada termo:
integral0^x t^4n dt = x^4n + 14n + 1
Então, substituindo de volta na soma:
g(x) = sumn=0^infty (-1)^n4n + 1 x^4n + 1

Resposta

A expansão em série de potências em torno da origem é:
boxed &(i) f(x) = 11 + x^4 = sumn=0^infty (-1)^n x^4n &(ii) g(x) = integral0^x 11 + t^4 dt = sumn=0^infty (-1)^n4n + 1 x^4n + 1

Exercícios relacionados

Para cada uma das séries de termos positivos abaixo, verifique se a série converge, indicando o teste de convergência/divergência usado e justificando em detalhe.
(i) sumn=1^infty n^2n^2+3000 ; (ii) sumn=1^infty cos ^2 nn^2+3 ; (iii) sumn=1^infty nn^2+15
Determine o raio de convergência R das séries de potências
(i) sumn=0^infty (n+1)^5n! x^n ; ( ii) sumn=0^infty 5^nn(x-2)^n
Para a função f(x) = 1/(1+x^4), use a expansão para f obtida em (a) para calcular f^(12)(0) e f^(13)(0). Aqui, f^(n) denota a derivada de n-ésima ordem de f. Justifique.
Considere a função f: R^2 -> R, dada por f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2
Encontre o valor de