a) Considere a função f(x)=1/(2-x)
i. Desenvolva a função em série de potências de x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e o objetivo é desenvolvê-la em uma série de potências de . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências, mais especificamente a série geométrica, que é uma ferramenta super útil para expandir funções desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma arrumada na função para ela ficar no formato que a gente conhece para aplicar a série geométrica. A gente tem:
Podemos reescrever isso assim:

Passo 3

Agora, lembrando da série geométrica, sabemos que:
Aqui, é igual a . Então podemos substituir:

Passo 4

Voltando à nossa função , temos:

Passo 5

Então, juntando tudo, a série de potências de é:
E isso é válido para , garantindo a convergência da série.

Resposta

A série de potências de é:

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