a) Considere a função
i. Desenvolva a função em série de potências de
;
i. Desenvolva a função em série de potências de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e o objetivo é desenvolvê-la em uma série de potências de
. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências, mais especificamente a série geométrica, que é uma ferramenta super útil para expandir funções desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma arrumada na função para ela ficar no formato que a gente conhece para aplicar a série geométrica. A gente tem:
Podemos reescrever isso assim:
Passo 3
Agora, lembrando da série geométrica, sabemos que:
Aqui,
é igual a
. Então podemos substituir:
Passo 4
Voltando à nossa função
, temos:
Passo 5
Então, juntando tudo, a série de potências de
é:
E isso é válido para
, garantindo a convergência da série.
Resposta
A série de potências de
é: