Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o domínio da função . Basicamente, queremos descobrir para quais valores de essa série infinita converge, ou seja, para quais a função está bem definida. Vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que é uma série de potências centrada em . O domínio da função será os valores de para os quais essa série converge. Para encontrar isso, vamos determinar o raio de convergência da série.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge absolutamente. A regra geral do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identifiquemos an = (2n+1)!n^3(x-2)^n :
Para encontrar o limite quando limn to infty | (2n+3)(2n+2)(n+1)^3 (x-2) | = limn to infty | 4n^2n^3 (x-2) | = limn to infty | 4n (x-2) | = 0 , observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Passo 7
Como o limite é menor que 1 para qualquer valor de , a série converge absolutamente para todo . Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Passo 8
Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais. Não há restrições para , já que a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O domínio da função é , ou seja, todos os números reais.