As afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta: b) Se
converge em
, então converge em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos como
. A gente precisa analisar se, se a série converge em
, ela também converge em
. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, sabemos que para uma série de potências da forma
, existe algo chamado raio de convergência (
). Esse raio determina para quais valores de
a série converge. A regra básica é que a série converge se
e pode divergir se
.
Passo 3
Se a série converge em
, isso significa que
está dentro da região de convergência. Portanto, o raio de convergência
deve ser pelo menos
, ou seja,
. Então, a série converge para todos os
tais que
, e como
, ela certamente converge para valores de
com
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o ponto
. Calculando o valor absoluto, temos
. Como
e
, concluímos que
está dentro da região de convergência da série. Portanto, a série também converge em
.
Resposta
VERDADEIRO. Se a série
converge em
, ela também converge em
.