As afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta: b) Se sumn=0^infty an x^n converge em x=2, então converge em x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos como an x^n. A gente precisa analisar se, se a série converge em x=2, ela também converge em x=-1. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para uma série de potências da forma sumn=0^infty an x^n, existe algo chamado raio de convergência ( r). Esse raio determina para quais valores de x a série converge. A regra básica é que a série converge se |x| < r e pode divergir se |x| > r.

Passo 3

Se a série converge em x=2, isso significa que 2 está dentro da região de convergência. Portanto, o raio de convergência r deve ser pelo menos 2, ou seja, r >= 2. Então, a série converge para todos os x tais que |x| < r, e como r >= 2, ela certamente converge para valores de x com |x| < 2.

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto x=-1. Calculando o valor absoluto, temos |-1| = 1. Como 1 < 2 e r >= 2, concluímos que x=-1 está dentro da região de convergência da série. Portanto, a série também converge em x=-1.

Resposta

VERDADEIRO. Se a série sumn=0^infty an x^n converge em x=2, ela também converge em x=-1.

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