Considere a função
:
Utilizando um software, o programa Geogebra, determine em quais pontos do gráfico de
as retas tangentes a ele são paralelas à reta:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a função
. O objetivo é encontrar os pontos no gráfico dessa função onde as retas tangentes são paralelas à reta
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes a uma função em qualquer ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a inclinação de uma reta é dada pelo seu coeficiente angular. Na reta
, o coeficiente angular é 1. Queremos encontrar os pontos onde a inclinação da reta tangente à função
também seja 1.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente à função
em qualquer ponto, usamos a derivada da função. A derivada
nos dá exatamente essa inclinação. Vamos calcular
.
A função é
. Podemos usar a regra do quociente para calcular a derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Passo 5
Agora que temos a derivada
, queremos encontrar os valores de
onde
(já que a inclinação desejada é 1).
Então, resolvemos a equação:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 7
Resolvemos para
:
-
⇒ -
⇒
Passo 8
Agora que temos os valores de
onde a inclinação da reta tangente é 1, vamos encontrar as coordenadas dos pontos correspondentes substituindo
na função
.
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico de
que são paralelas à reta
passam pelos pontos
e
.