5- Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L seja dada por:
r psi(x)=cos (pi xL) ; -L / 2 <= x <=+L / 2 psi(x)=0, |x|>L / 2
b. Essa função de onda é normalizada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a função de onda de um elétron dentro de uma “caixa” unidimensional está normalizada. Estamos falando de mecânica quântica, especificamente sobre a normalização de funções de onda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função de onda ser normalizada e como calcular a integral do quadrado da função de onda para verificar se ela é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é normalização. Em mecânica quântica, uma função de onda Ψ(x) é normalizada se a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço for igual a 1. Matematicamente, isso significa que a integral de |Ψ(x)|² sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 dx = 1

Passo 3

No nosso caso, a função de onda dada é:
psi(x) = cos(pi xL) & para -L2 <= x <= L2 0 & caso contrário á
Então, para verificar a normalização, vamos calcular a integral de |ψ(x)|² de -L/2 a L/2.

Passo 4

Como a função é real, |ψ(x)|² é simplesmente ψ(x)². Assim, vamos calcular:
integral-L2^L2 cos^2(pi xL) dx

Passo 5

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral de cos²:
cos^2(a) = 1 + cos(2a)2
Aplicando isso na nossa integral:
integral-L2^L2 1 + cos(2pi xL)2 dx = 12 integral-L2^L2 1 dx + 12 integral-L2^L2 cos(2pi xL) dx

Passo 6

Calculemos cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
12 integral-L2^L2 1 dx = 12 [ x ]-L2^L2 = 12 ( L2 - (-L2) ) = 12 times L = L2
  1. Segunda integral:
12 integral-L2^L2 cos(2pi xL) dx
Sabemos que a integral de uma função ímpar, como o cosseno de uma função linear simétrica, sobre um intervalo simétrico ao redor de zero é zero. Portanto:
12 integral-L2^L2 cos(2pi xL) dx = 0

Passo 7

Agora, somando os dois resultados:
L2 + 0 = L2
Isso significa que:
integral-L2^L2 cos^2(pi xL) dx = L2

Passo 8

Para que a função de onda esteja normalizada, essa integral deve ser igual a 1. Então, verificamos se:
L2 = 1
Isso ocorre apenas se L = 2, o que geralmente não é o caso, já que L representa o comprimento da caixa e não é necessariamente igual a 2 unidades.

Resposta

Não, a função de onda apresentada não está normalizada porque a integral de |ψ(x)|² resulta em L/2, que não é igual a 1, a menos que L seja 2 unidades.

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