5- Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L seja dada por:
b. Essa função de onda é normalizada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a função de onda de um elétron dentro de uma “caixa” unidimensional está normalizada. Estamos falando de mecânica quântica, especificamente sobre a normalização de funções de onda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função de onda ser normalizada e como calcular a integral do quadrado da função de onda para verificar se ela é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é normalização. Em mecânica quântica, uma função de onda Ψ(x) é normalizada se a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço for igual a 1. Matematicamente, isso significa que a integral de |Ψ(x)|² sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Passo 3
No nosso caso, a função de onda dada é:
Então, para verificar a normalização, vamos calcular a integral de |ψ(x)|² de -L/2 a L/2.
Passo 4
Como a função é real, |ψ(x)|² é simplesmente ψ(x)². Assim, vamos calcular:
Passo 5
Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral de cos²:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Calculemos cada parte separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Sabemos que a integral de uma função ímpar, como o cosseno de uma função linear simétrica, sobre um intervalo simétrico ao redor de zero é zero. Portanto:
Passo 7
Agora, somando os dois resultados:
Isso significa que:
Passo 8
Para que a função de onda esteja normalizada, essa integral deve ser igual a 1. Então, verificamos se:
Isso ocorre apenas se L = 2, o que geralmente não é o caso, já que L representa o comprimento da caixa e não é necessariamente igual a 2 unidades.
Resposta
Não, a função de onda apresentada não está normalizada porque a integral de |ψ(x)|² resulta em L/2, que não é igual a 1, a menos que L seja 2 unidades.