Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
f(x)=xx^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente de derivadas. Os pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos precisar calcular a derivada de e analisar onde ela é igual a zero ou está indefinida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função que é uma fração, tipo f'(x) = v cdot u' - u cdot v'v^2 . A gente vai usar a regra do quociente, que diz que:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u = x Rightarrow u' = 1 e v = x^2 - 9 Rightarrow v' = 2x :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = (x^2 - 9) cdot 1 - x cdot 2x(x^2 - 9)^2 = x^2 - 9 - 2x^2(x^2 - 9)^2 = -x^2 - 9(x^2 - 9)^2
Esse é o valor da derivada .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, vamos ver onde -x^2 - 9(x^2 - 9)^2 = 0 :
-x^2 - 9 = 0 Rightarrow -x^2 = 9 Rightarrow x^2 = -9
A fração será zero quando o numerador for zero:
Como não pode ser negativo, não há solução real para essa equação. Ou seja, a derivada nunca é zero.

Passo 6

Agora, vamos ver onde a derivada não existe. A derivada (x^2 - 9)^2 = 0 Rightarrow x^2 - 9 = 0 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3 não existe quando o denominador é zero:
Portanto, a derivada não existe nos pontos e .

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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