Nos Exercícios de 1 a 20, ache os números críticos da função dada. f(x)=tg^2 4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os números críticos da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas. Para achar os números críticos, precisamos encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Sabemos que é uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia. A derivada de é vezes a derivada de .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 2 tan(4x) cdot sec^2(4x) cdot 4
Simplificando:
f'(x) = 8 tan(4x) sec^2(4x)

Passo 4

Agora, para achar os números críticos, precisamos resolver e verificar onde a derivada não existe.

Passo 5

Para 8 tan(4x) sec^2(4x) = 0 :
tan(4x) sec^2(4x) = 0
Dividindo ambos os lados por 8:
tan(4x) = 0
Sabemos que nunca é zero, então:

Passo 6

A equação x = npi4 acontece quando , onde é um inteiro. Então:

Passo 7

Agora, verificamos onde a derivada não existe. A derivada não existe quando , pois .

Passo 8

Resolvendo 4x = pi2 + npi Rightarrow x = pi8 + npi4 :
onde é um inteiro.

Resposta

Os números críticos da função são para todo inteiro .

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