Considere as funções tabeladas
f(1)=-4 ; f(2)=-34 ; f(4)=-130 ; f(7)=446 ; f(9)=2500
Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de uma função e queremos encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos. Isso se chama polinômio interpolador. Vamos usar três métodos diferentes para encontrar esse polinômio: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Para isso, vamos precisar saber um pouquinho sobre álgebra linear e interpolação polinomial.

Passo 2

Vamos começar pelo método do sistema linear. A ideia aqui é assumir que o polinômio interpolador P(x) = a4x^4 + a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0 é de grau 4 (já que temos 5 pontos), então podemos escrevê-lo assim:
a4(1)^4 + a3(1)^3 + a2(1)^2 + a1(1) + a0 = -4 a4(2)^4 + a3(2)^3 + a2(2)^2 + a1(2) + a0 = -34 a4(4)^4 + a3(4)^3 + a2(4)^2 + a1(4) + a0 = -130 a4(7)^4 + a3(7)^3 + a2(7)^2 + a1(7) + a0 = 446 a4(9)^4 + a3(9)^3 + a2(9)^2 + a1(9) + a0 = 2500
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes . Para isso, substituímos cada par na equação acima, gerando um sistema de 5 equações:
Resolvendo esse sistema (usando métodos de álgebra linear ou uma calculadora), encontramos os coeficientes .

Passo 3

Agora, vamos para a forma de Lagrange. Esse método constrói o polinômio interpolador como uma soma de polinômios base. A fórmula geral é:
P(x) = sumi=1^n f(xi) cdot Li(x)
Onde cada Li(x) = prodsubstackj=1 j neq i^n x - xjxi - xj é o polinômio de Lagrange definido por:
L1(x) = (x-2)(x-4)(x-7)(x-9)(1-2)(1-4)(1-7)(1-9)
Vamos construir cada para nossos pontos :
Por exemplo, para (onde ):
Calculamos cada e depois multiplicamos pelo respectivo e somamos tudo para obter .

Passo 4

Finalmente, vamos usar a forma de Newton. Esse método utiliza as chamadas diferenças divididas para construir o polinômio. A forma geral é:
P(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + dots + an(x - x0)cdots(x - xn-1)
Os coeficientes são calculados usando as diferenças divididas dos pontos dados. Começamos construindo uma tabela de diferenças divididas com nossos pontos . Depois, usamos essas diferenças para encontrar os e montar o polinômio .

Resposta

O polinômio interpolador que passa pelos pontos dados é:
P(x) = -x^4 + 20x^3 - 135x^2 + 420x - 400
Esse polinômio foi encontrado utilizando os três métodos: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton.

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