Considere as funções tabeladas
Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de uma função e queremos encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos. Isso se chama polinômio interpolador. Vamos usar três métodos diferentes para encontrar esse polinômio: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Para isso, vamos precisar saber um pouquinho sobre álgebra linear e interpolação polinomial.
Passo 2
Vamos começar pelo método do sistema linear. A ideia aqui é assumir que o polinômio interpolador é de grau 4 (já que temos 5 pontos), então podemos escrevê-lo assim:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes . Para isso, substituímos cada par na equação acima, gerando um sistema de 5 equações:
Resolvendo esse sistema (usando métodos de álgebra linear ou uma calculadora), encontramos os coeficientes .
Passo 3
Agora, vamos para a forma de Lagrange. Esse método constrói o polinômio interpolador como uma soma de polinômios base. A fórmula geral é:
Onde cada é o polinômio de Lagrange definido por:
Vamos construir cada para nossos pontos :
Por exemplo, para (onde ):
Calculamos cada e depois multiplicamos pelo respectivo e somamos tudo para obter .
Passo 4
Finalmente, vamos usar a forma de Newton. Esse método utiliza as chamadas diferenças divididas para construir o polinômio. A forma geral é:
Os coeficientes são calculados usando as diferenças divididas dos pontos dados. Começamos construindo uma tabela de diferenças divididas com nossos pontos . Depois, usamos essas diferenças para encontrar os e montar o polinômio .
Resposta
O polinômio interpolador que passa pelos pontos dados é:
Esse polinômio foi encontrado utilizando os três métodos: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton.