Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial
. Use
, como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função
usando o método do ponto fixo. Isso significa que a gente vai usar a função
para iterar a partir de um ponto inicial
até chegar bem perto de onde
é zero. A gente vai parar quando
for menor que
ou depois de no máximo 20 tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa achar o zero da função. Encontrar o zero de
é descobrir para qual valor de
a função resulta em zero, ou seja,
. No nosso caso, queremos resolver:
Isso implica que
.
Passo 3
No método do ponto fixo, reescrevemos a equação para expressar
em termos de si mesmo. Aqui, a gente já tem
, que é uma forma de isolar
:
Então, nossa função iterativa será
.
Passo 4
Vamos começar a iterar a partir do ponto inicial
. A cada passo, calculamos
e verificamos se
. Vamos fazer isso até alcançar a precisão desejada ou até 20 iterações.
Passo 5
Iteração 1:
Calculando
:
Como
, continuamos.
Passo 6
Iteração 2:
Calculando
:
Como
, seguimos em frente.
Passo 7
Iteração 3:
Calculando
:
Ainda não atingimos a precisão, então vamos continuar.
Passo 8
Iteração 4:
Calculando
:
Ainda acima do nosso critério, seguimos.
Passo 9
Iteração 5:
Calculando
:
Vamos continuar.
Passo 10
Iteração 6:
Calculando
:
Ainda não é menor que
, continuamos.
Passo 11
Iteração 7:
Calculando
:
Quase lá, mas vamos mais um pouco.
Passo 12
Iteração 8:
Calculando
:
Ainda próximo, mas não alcançou
.
Passo 13
Iteração 9:
Calculando
:
Parece que estamos oscilando sem chegar exatamente em zero dentro do critério.
Passo 14
Após 9 iterações, não conseguimos atingir
. Isso sugere que o método do ponto fixo com a função
e o ponto inicial
está oscilando próximo do zero sem convergir dentro do limite de 20 iterações.
Resposta
O método do ponto fixo não convergiu para o zero da função
dentro de 20 iterações utilizando
e
. Isso ocorre porque a sequência de iterações está oscilando sem se aproximar suficientemente do zero, indicando uma aparente divergência.
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Resp.
Resp.
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