Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
f(x)=x+ln (x), phi(x)=e^-x, x0=12, varepsilon=10^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função usando o método do ponto fixo. Isso significa que a gente vai usar a função para iterar a partir de um ponto inicial até chegar bem perto de onde é zero. A gente vai parar quando for menor que ou depois de no máximo 20 tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa achar o zero da função. Encontrar o zero de x + ln(x) = 0 é descobrir para qual valor de a função resulta em zero, ou seja, . No nosso caso, queremos resolver:
Isso implica que .

Passo 3

No método do ponto fixo, reescrevemos a equação para expressar x = e^-x em termos de si mesmo. Aqui, a gente já tem , que é uma forma de isolar :
Então, nossa função iterativa será .

Passo 4

Vamos começar a iterar a partir do ponto inicial . A cada passo, calculamos e verificamos se . Vamos fazer isso até alcançar a precisão desejada ou até 20 iterações.

Passo 5

Iteração 1:
x1 = e^-x0 = e^-0.5 approx 0.6065
Calculando f(0.6065) = 0.6065 + ln(0.6065) approx 0.6065 - 0.5 = 0.1065 :
Como , continuamos.

Passo 6

Iteração 2:
x2 = e^-x1 = e^-0.6065 approx 0.544
Calculando f(0.544) = 0.544 + ln(0.544) approx 0.544 - 0.61 = -0.066 :
Como , seguimos em frente.

Passo 7

Iteração 3:
x3 = e^-x2 = e^-0.544 approx 0.580
Calculando f(0.580) = 0.580 + ln(0.580) approx 0.580 - 0.546 = 0.034 :
Ainda não atingimos a precisão, então vamos continuar.

Passo 8

Iteração 4:
x4 = e^-x3 = e^-0.580 approx 0.560
Calculando f(0.560) = 0.560 + ln(0.560) approx 0.560 - 0.58 = -0.020 :
Ainda acima do nosso critério, seguimos.

Passo 9

Iteração 5:
x5 = e^-x4 = e^-0.560 approx 0.572
Calculando f(0.572) = 0.572 + ln(0.572) approx 0.572 - 0.56 = 0.012 :
Vamos continuar.

Passo 10

Iteração 6:
x6 = e^-x5 = e^-0.572 approx 0.564
Calculando f(0.564) = 0.564 + ln(0.564) approx 0.564 - 0.575 = -0.011 :
Ainda não é menor que , continuamos.

Passo 11

Iteração 7:
x7 = e^-x6 = e^-0.564 approx 0.569
Calculando f(0.569) = 0.569 + ln(0.569) approx 0.569 - 0.567 = 0.002 :
Quase lá, mas vamos mais um pouco.

Passo 12

Iteração 8:
x8 = e^-x7 = e^-0.569 approx 0.566
Calculando f(0.566) = 0.566 + ln(0.566) approx 0.566 - 0.569 = -0.003 :
Ainda próximo, mas não alcançou .

Passo 13

Iteração 9:
x9 = e^-x8 = e^-0.566 approx 0.569
Calculando f(0.569) = 0.569 + ln(0.569) approx 0.569 - 0.567 = 0.002 :
Parece que estamos oscilando sem chegar exatamente em zero dentro do critério.

Passo 14

Após 9 iterações, não conseguimos atingir . Isso sugere que o método do ponto fixo com a função e o ponto inicial está oscilando próximo do zero sem convergir dentro do limite de 20 iterações.

Resposta

O método do ponto fixo não convergiu para o zero da função dentro de 20 iterações utilizando e . Isso ocorre porque a sequência de iterações está oscilando sem se aproximar suficientemente do zero, indicando uma aparente divergência.

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