Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial . Use , como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função usando o método do ponto fixo. Isso significa que a gente vai usar a função para iterar a partir de um ponto inicial até chegar bem perto de onde é zero. A gente vai parar quando for menor que ou depois de no máximo 20 tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa achar o zero da função. Encontrar o zero de é descobrir para qual valor de a função resulta em zero, ou seja, . No nosso caso, queremos resolver:
Isso implica que .

Passo 3

No método do ponto fixo, reescrevemos a equação para expressar em termos de si mesmo. Aqui, a gente já tem , que é uma forma de isolar :
Então, nossa função iterativa será .

Passo 4

Vamos começar a iterar a partir do ponto inicial . A cada passo, calculamos e verificamos se . Vamos fazer isso até alcançar a precisão desejada ou até 20 iterações.

Passo 5

Iteração 1:
Calculando :
Como , continuamos.

Passo 6

Iteração 2:
Calculando :
Como , seguimos em frente.

Passo 7

Iteração 3:
Calculando :
Ainda não atingimos a precisão, então vamos continuar.

Passo 8

Iteração 4:
Calculando :
Ainda acima do nosso critério, seguimos.

Passo 9

Iteração 5:
Calculando :
Vamos continuar.

Passo 10

Iteração 6:
Calculando :
Ainda não é menor que , continuamos.

Passo 11

Iteração 7:
Calculando :
Quase lá, mas vamos mais um pouco.

Passo 12

Iteração 8:
Calculando :
Ainda próximo, mas não alcançou .

Passo 13

Iteração 9:
Calculando :
Parece que estamos oscilando sem chegar exatamente em zero dentro do critério.

Passo 14

Após 9 iterações, não conseguimos atingir . Isso sugere que o método do ponto fixo com a função e o ponto inicial está oscilando próximo do zero sem convergir dentro do limite de 20 iterações.

Resposta

O método do ponto fixo não convergiu para o zero da função dentro de 20 iterações utilizando e . Isso ocorre porque a sequência de iterações está oscilando sem se aproximar suficientemente do zero, indicando uma aparente divergência.

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