Considere a hipérbole x^2-2 y^2=1 no plano x y. A equação da superfície de revolução que obtemos ao girarmos essa hipérbole em torno do eixo y é:
(a) x^2-2 y^2-2 z^2=1
(b) x^2-2 y^2-z^2=1
© 2 x^2-2 y^2+z^2=1
(d) x^2-2 y^2+z^2=1
Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a hipérbole no plano . Queremos encontrar a equação da superfície de revolução obtida ao girar essa hipérbole em torno do eixo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica sobre superfícies de revolução e manipulação de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, entendemos que ao girar uma curva no plano em torno do eixo , as coordenadas e no espaço tridimensional se relacionam de forma que e mantêm a mesma distância do eixo . Isso significa que será a nova expressão que substitui na equação original.

Passo 3

Aplicando essa substituição na equação da hipérbole, temos:
x^2 - 2y^2 = 1 Rightarrow (x^2 + z^2) - 2y^2 = 1
Dessa forma, a equação da superfície de revolução é:
x^2 + z^2 - 2y^2 = 1

Passo 4

Agora, vamos comparar essa equação com as opções dadas no exercício:
  • (a) item (a) (x^2 - 2y^2 - 2z^2 = 1) item (b) (x^2 - 2y^2 - z^2 = 1) item (c) (2x^2 - 2y^2 + z^2 = 1) item (d) (x^2 - 2y^2 + z^2 = 1)
  • (b) x^2 + z^2 - 2y^2 = 1 Rightarrow x^2 - 2y^2 + z^2 = 1
  • (c)
  • (d)
A equação que obtivemos corresponde à opção (d):

Resposta

A alternativa correta é a (d) .

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