Considere a hipérbole no plano . A equação da superfície de revolução que obtemos ao girarmos essa hipérbole em torno do eixo é:
(a)
(b)
©
(d)
Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a hipérbole no plano . Queremos encontrar a equação da superfície de revolução obtida ao girar essa hipérbole em torno do eixo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica sobre superfícies de revolução e manipulação de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, entendemos que ao girar uma curva no plano em torno do eixo , as coordenadas e no espaço tridimensional se relacionam de forma que e mantêm a mesma distância do eixo . Isso significa que será a nova expressão que substitui na equação original.

Passo 3

Aplicando essa substituição na equação da hipérbole, temos:
Dessa forma, a equação da superfície de revolução é:

Passo 4

Agora, vamos comparar essa equação com as opções dadas no exercício:
  • (a)
  • (b)
  • (c)
  • (d)
A equação que obtivemos corresponde à opção (d):

Resposta

A alternativa correta é a (d) .

Exercícios relacionados

Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e , separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
Considere as seguintes bases do :
.
b) Calcular sabendo que
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
c) (Resp. )
  1. Encontre todos os valores de e para os quais é simétrica.
  1. Encontre uma matriz diagonal tal que
    19a.