Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados
e
, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados
(iii) Faça um esboço da quádrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação e quer que a gente descubra que tipo de superfície quadrática ela representa, veja como ela corta os planos coordenados
,
e
, e depois faça um esboço dessa superfície. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a quadrica dessa equação:
(NOTA: Parece que na equação original estava escrito
, mas imagino que era para ser
. Vou seguir com
para continuar.)
Essa equação está na forma padrão de uma elipsoide, que é uma quadrica que se parece com uma esfera alongada em diferentes direções. A forma geral de uma elipsoide é:
Onde
,
, e
são os raios ao longo dos eixos
,
e
respectivamente. No nosso caso:
Ent��o, a quadrica é uma elipsoide.
Passo 3
Agora, vamos determinar como essa elipsoide intersecta os planos coordenados
,
e
.
-
Interseção com o plano
: Para encontrar a interseção com o plano, colocamos na equação da elipsoide: Essa é a equação de uma elipse no planocom semieixos de comprimento 4 (em ) e 2 (em ). -
Interseção com o plano
: Para o plano, colocamos : Outra elipse, agora no plano, com semieixos de comprimento 4 (em ) e (em ). -
Interseção com o plano
: Para o plano, colocamos : Mais uma elipse, no plano, com semieixos de comprimento 2 (em ) e (em ).
Passo 4
Vamos fazer um esboço da elipsoide:
-
Eixos principais:
- Eixo
: de a - Eixo
: de a - Eixo
: de a (aproximadamente a )
- Eixo
-
Forma geral:
- Imagine uma esfera que está alongada mais no eixo
, menos no e um pouco mais no . - As interseções nos planos coordenados são elipses com semieixos proporcionais aos valores encontrados.
- Imagine uma esfera que está alongada mais no eixo
-
Desenho:
- Desenhe os três eixos
, e . - Marque os pontos extremos em cada eixo conforme os semieixos.
- Desenhe as elipses nos planos
, e . - Conecte tudo para visualizar a forma 3D da elipsoide.
- Desenhe os três eixos
Resposta
Identificamos que a equação
representa uma elipsoide. Suas interseções com os planos coordenados são elipses nos planos
,
e
, com semieixos de 4 e 2, 4 e
, e 2 e
respectivamente. O esboço da elipsoide mostra uma esfera alongada principalmente no eixo
, com os tamanhos dos eixos refletindo os denominadores das frações na equação.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes bases do
:
.
b) Calcular sabendo que
b) Calcular
Considere as quádricas abaixo.
. Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos
e
? Escreva suas equaçōes.
Considere a hipérbole
no plano
. A equação da superfície de revolução que obtemos ao girarmos essa hipérbole em torno do eixo
é:
(a)
(b)
©
(d)
Justifique.
(a)
(b)
©
(d)
Justifique.
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
c) (Resp.
)
c)