Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados x y, x z e y z, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
x^216+y^24+2^28=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação e quer que a gente descubra que tipo de superfície quadrática ela representa, veja como ela corta os planos coordenados , e , e depois faça um esboço dessa superfície. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a quadrica dessa equação:
x^216 + y^24 + z^28 = 1
(NOTA: Parece que na equação original estava escrito x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1 , mas imagino que era para ser a^2 = 16 Rightarrow a = 4 b^2 = 4 Rightarrow b = 2 c^2 = 8 Rightarrow c = 2raiz2 . Vou seguir com para continuar.)
Essa equação está na forma padrão de uma elipsoide, que é uma quadrica que se parece com uma esfera alongada em diferentes direções. A forma geral de uma elipsoide é:
Onde , , e são os raios ao longo dos eixos , e respectivamente. No nosso caso:
Ent��o, a quadrica é uma elipsoide.

Passo 3

Agora, vamos determinar como essa elipsoide intersecta os planos coordenados x^216 + y^24 + 0^28 = 1 Rightarrow x^216 + y^24 = 1 , x^216 + 0^24 + z^28 = 1 Rightarrow x^216 + z^28 = 1 e 0^216 + y^24 + z^28 = 1 Rightarrow y^24 + z^28 = 1 .
  1. Interseção com o plano :
    Para encontrar a interseção com o plano , colocamos na equação da elipsoide:
    Essa é a equação de uma elipse no plano com semieixos de comprimento 4 (em ) e 2 (em ).
  2. Interseção com o plano :
    Para o plano , colocamos :
    Outra elipse, agora no plano , com semieixos de comprimento 4 (em ) e (em ).
  3. Interseção com o plano :
    Para o plano , colocamos :
    Mais uma elipse, no plano , com semieixos de comprimento 2 (em ) e (em ).

Passo 4

Vamos fazer um esboço da elipsoide:
  1. Eixos principais:
    • Eixo : de a
    • Eixo : de a
    • Eixo : de a (aproximadamente a )
  2. Forma geral:
    • Imagine uma esfera que está alongada mais no eixo , menos no e um pouco mais no .
    • As interseções nos planos coordenados são elipses com semieixos proporcionais aos valores encontrados.
  3. Desenho:
    • Desenhe os três eixos , e .
    • Marque os pontos extremos em cada eixo conforme os semieixos.
    • Desenhe as elipses nos planos , e .
    • Conecte tudo para visualizar a forma 3D da elipsoide.

Resposta

Identificamos que a equação representa uma elipsoide. Suas interseções com os planos coordenados são elipses nos planos , e , com semieixos de 4 e 2, 4 e , e 2 e respectivamente. O esboço da elipsoide mostra uma esfera alongada principalmente no eixo , com os tamanhos dos eixos refletindo os denominadores das frações na equação.

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