Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e , separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação e quer que a gente descubra que tipo de superfície quadrática ela representa, veja como ela corta os planos coordenados , e , e depois faça um esboço dessa superfície. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a quadrica dessa equação:
(NOTA: Parece que na equação original estava escrito , mas imagino que era para ser . Vou seguir com para continuar.)
Essa equação está na forma padrão de uma elipsoide, que é uma quadrica que se parece com uma esfera alongada em diferentes direções. A forma geral de uma elipsoide é:
Onde , , e são os raios ao longo dos eixos , e respectivamente. No nosso caso:
Ent��o, a quadrica é uma elipsoide.

Passo 3

Agora, vamos determinar como essa elipsoide intersecta os planos coordenados , e .
  1. Interseção com o plano :
    Para encontrar a interseção com o plano , colocamos na equação da elipsoide:
    Essa é a equação de uma elipse no plano com semieixos de comprimento 4 (em ) e 2 (em ).
  2. Interseção com o plano :
    Para o plano , colocamos :
    Outra elipse, agora no plano , com semieixos de comprimento 4 (em ) e (em ).
  3. Interseção com o plano :
    Para o plano , colocamos :
    Mais uma elipse, no plano , com semieixos de comprimento 2 (em ) e (em ).

Passo 4

Vamos fazer um esboço da elipsoide:
  1. Eixos principais:
    • Eixo : de a
    • Eixo : de a
    • Eixo : de a (aproximadamente a )
  2. Forma geral:
    • Imagine uma esfera que está alongada mais no eixo , menos no e um pouco mais no .
    • As interseções nos planos coordenados são elipses com semieixos proporcionais aos valores encontrados.
  3. Desenho:
    • Desenhe os três eixos , e .
    • Marque os pontos extremos em cada eixo conforme os semieixos.
    • Desenhe as elipses nos planos , e .
    • Conecte tudo para visualizar a forma 3D da elipsoide.

Resposta

Identificamos que a equação representa uma elipsoide. Suas interseções com os planos coordenados são elipses nos planos , e , com semieixos de 4 e 2, 4 e , e 2 e respectivamente. O esboço da elipsoide mostra uma esfera alongada principalmente no eixo , com os tamanhos dos eixos refletindo os denominadores das frações na equação.

Exercícios relacionados

Considere as seguintes bases do :
.
b) Calcular sabendo que
Considere as quádricas abaixo. . Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.
Considere a hipérbole no plano . A equação da superfície de revolução que obtemos ao girarmos essa hipérbole em torno do eixo é:
(a)
(b)
©
(d)
Justifique.
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
c) (Resp. )