Considere as seguintes bases do :
.
b) Calcular sabendo que

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O enunciado nos dá quatro bases diferentes para o espaço : , , e . A gente precisa calcular , que é o vetor expresso na base , sabendo que na base , é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . A base é formada pelos vetores e . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa combinação linear para encontrar as coordenadas de no espaço padrão :
Então, no sistema padrão, .

Passo 4

Agora que temos no sistema padrão, vamos encontrar suas coordenadas na base . A base é formada pelos vetores e . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão de :

Resposta

Portanto, o vetor expresso na base é .

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Considere as quádricas abaixo. . Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.
Considere as seguintes bases do :
.
a) Calcular sabendo que
Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e , separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
Considere a hipérbole no plano . A equação da superfície de revolução que obtemos ao girarmos essa hipérbole em torno do eixo é:
(a)
(b)
©
(d)
Justifique.