Considere as seguintes bases do
:
.
b) Calcular
sabendo que
b) Calcular
Passo 1
Beleza! Vamos lá. O enunciado nos dá quatro bases diferentes para o espaço
:
,
,
e
. A gente precisa calcular
, que é o vetor
expresso na base
, sabendo que na base
,
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
. A base
é formada pelos vetores
e
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa combinação linear para encontrar as coordenadas de
no espaço padrão
:
Então, no sistema padrão,
.
Passo 4
Agora que temos
no sistema padrão, vamos encontrar suas coordenadas na base
. A base
é formada pelos vetores
e
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Resposta
Portanto, o vetor
expresso na base
é
.