Considere as seguintes bases do R^2 :
A=(2,-1),(-1,1), B=(1,0),(2,1), C=(1,1),(1,-1), D=(-1,-3),(3,5).
b) Calcular vA sabendo que vB=(7,-1)

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O enunciado nos dá quatro bases diferentes para o espaço R^2: A, B, C e D. A gente precisa calcular vA, que é o vetor v expresso na base A, sabendo que na base B, v é igual a (7,-1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vB = (7,-1). Isso quer dizer que o vetor v pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base B. A base B é formada pelos vetores (1,0) e (2,1). Então:
v = 7 cdot (1,0) + (-1) cdot (2,1)

Passo 3

Agora, vamos calcular essa combinação linear para encontrar as coordenadas de v no espaço padrão R^2:
v = (7 cdot 1 + (-1) cdot 2, 7 cdot 0 + (-1) cdot 1) = (7 - 2, 0 - 1) = (5, -1)
Então, no sistema padrão, v = (5, -1).

Passo 4

Agora que temos v no sistema padrão, vamos encontrar suas coordenadas na base A. A base A é formada pelos vetores (2,-1) e (-1,1). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
v = a cdot (2,-1) + b cdot (-1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
2a - b = 5 - a + b = -1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a e b.
Da segunda equação:
- a + b = -1 Rightarrow b = a - 1
Substituindo b na primeira equação:
2a - (a - 1) = 5 2a - a + 1 = 5 a + 1 = 5 a = 4
Agora, substituindo a = 4 na expressão de b:
b = 4 - 1 = 3

Resposta

Portanto, o vetor v expresso na base A é vA = (4,,3).

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