Considere as integrais
integral1^2 x e^-x^3 d x
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e 1 / 3 de Simpson repetida em 4 sub integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando dois métodos diferentes: a quadratura gaussiana repetida em 2 subintervas com 2 pontos cada e a regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervas. A matéria envolve métodos numéricos de integração, que nos ajudam a aproximar o valor de integrais quando não conseguimos resolvê-las analiticamente. Vamos precisar entender como funcionam esses métodos e como aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Método 1: Quadratura Gaussiana com 2 Subintervalos e 2 Pontos Cada
Primeiro, a quadratura gaussiana é uma técnica que aproxima integrais definidas usando pontos específicos (chamados pontos de Gauss) e pesos associados a esses pontos. Para a quadratura gaussiana de 2 pontos, usamos pontos e pesos padrão que são mapeados para cada subintervalo.
  1. Dividir o Intervalo em 2 Subintervalos: Nosso intervalo original é de x = b - a2 xi + a + b2 a x1 = 1.5 - 12 (-1raiz3) + 1 + 1.52 = 1 - 0.5raiz3 approx 0.7113 . Vamos dividi-lo em 2 partes iguais:
    • Subintervalo 1: x2 = 1.5 - 12 (1raiz3) + 1 + 1.52 = 1 + 0.5raiz3 approx 1.2887
    • Subintervalo 2: x3 = 2 - 1.52 (-1raiz3) + 1.5 + 22 = 1.5 - 0.5raiz3 approx 1.2113
  2. Pontos e Pesos para 2 Pontos de Gauss:
    • Pontos de Gauss (no intervalo x4 = 2 - 1.52 (1raiz3) + 1.5 + 22 = 1.5 + 0.5raiz3 approx 1.7887 ): integrala^b f(x) , dx approx b - a2 sumi=1^n wi f(xi) , I1 approx 0.25 [f(0.7113) + f(1.2887)]
    • Pesos: I2 approx 0.25 [f(1.2113) + f(1.7887)] , I approx I1 + I2
  3. Transformar os Pontos para Cada Subintervalo:
    A transformação de variáveis é usada para ajustar os pontos de Gauss para o intervalo específico I1 approx 0.25 (0.497 + 0.152) = 0.25 times 0.649 approx 0.162 :
    I2 approx 0.25 (0.206 + 0.0059) = 0.25 times 0.2119 approx 0.0530
    • Subintervalo 1 I approx 0.162 + 0.0530 = 0.215 :
    • Subintervalo 2 :
  4. Calcular a Integral em Cada Subintervalo:
    A fórmula da quadratura gaussiana é:
    Para cada subintervalo, .
    • Subintervalo 1:
    • Subintervalo 2:
  5. Somar as Aproximações dos Subintervalos:
Vamos calcular cada parte:
  • Calculando :
  • Substituindo:
  • Total:

Passo 3

Método 2: Regra de Simpson 1/3 Repetida em 4 Subintervalos
A regra de Simpson 1/3 é uma técnica que aproxima integrais usando parábolas que passam por três pontos igualmente espaçados. Quando repetida em múltiplos subintervalos, ela oferece uma aproximação mais precisa.
  1. Dividir o Intervalo em 4 Subintervalos: Nosso intervalo de h = 2 - 14 = 0.25 a integrala^b f(x) , dx approx h3 [f(a) + 4f(a + h) + f(b)] será dividido em 4 partes iguais. O tamanho de cada subintervalo ( I1 approx 0.53 [f(1) + 4f(1.25) + f(1.5)] ) é:
    I2 approx 0.53 [f(1.5) + 4f(1.75) + f(2)]
    Os pontos serão: I1 approx 0.53 [0.3679 + 4(0.1771) + 0.0515] = 0.53 [0.3679 + 0.7084 + 0.0515] = 0.53 times 1.1278 approx 0.1880 , I2 approx 0.53 [0.0515 + 4(0.0082) + 0.00067] = 0.53 [0.0515 + 0.0328 + 0.00067] = 0.53 times 0.0840 approx 0.0140 , I approx I1 + I2 = 0.1880 + 0.0140 = 0.202 , , .
  2. Aplicar a Regra de Simpson 1/3 em Cada Par de Subintervalos:
    A fórmula da regra de Simpson 1/3 para dois subintervalos ( ) é:
    Como temos 4 subintervalos, aplicamos a regra em duas partes:
    • Primeira Aplicação (de a ):
    • Segunda Aplicação (de a ):
    Aqui, é a largura total dos dois subintervalos (cada subintervalo tem , então dois deles somam ).
  3. Calcular as Aproximações:
  • Calculando :
  • Substituindo nas Fórmulas:
    • Primeira Aplicação:
    • Segunda Aplicação:
  1. Somar as Aproximações das Aplicações:

Resposta

Aproximação da integral :
  • Quadratura Gaussiana:
  • Regra de Simpson 1/3:

Exercícios relacionados