Considere as integrais

Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e de Simpson repetida em 4 sub integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando dois métodos diferentes: a quadratura gaussiana repetida em 2 subintervas com 2 pontos cada e a regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervas. A matéria envolve métodos numéricos de integração, que nos ajudam a aproximar o valor de integrais quando não conseguimos resolvê-las analiticamente. Vamos precisar entender como funcionam esses métodos e como aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Método 1: Quadratura Gaussiana com 2 Subintervalos e 2 Pontos Cada
Primeiro, a quadratura gaussiana é uma técnica que aproxima integrais definidas usando pontos específicos (chamados pontos de Gauss) e pesos associados a esses pontos. Para a quadratura gaussiana de 2 pontos, usamos pontos e pesos padrão que são mapeados para cada subintervalo.
  1. Dividir o Intervalo em 2 Subintervalos: Nosso intervalo original é de a . Vamos dividi-lo em 2 partes iguais:
    • Subintervalo 1:
    • Subintervalo 2:
  2. Pontos e Pesos para 2 Pontos de Gauss:
    • Pontos de Gauss (no intervalo ): ,
    • Pesos: ,
  3. Transformar os Pontos para Cada Subintervalo:
    A transformação de variáveis é usada para ajustar os pontos de Gauss para o intervalo específico :
    • Subintervalo 1 :
    • Subintervalo 2 :
  4. Calcular a Integral em Cada Subintervalo:
    A fórmula da quadratura gaussiana é:
    Para cada subintervalo, .
    • Subintervalo 1:
    • Subintervalo 2:
  5. Somar as Aproximações dos Subintervalos:
Vamos calcular cada parte:
  • Calculando :
  • Substituindo:
  • Total:

Passo 3

Método 2: Regra de Simpson 1/3 Repetida em 4 Subintervalos
A regra de Simpson 1/3 é uma técnica que aproxima integrais usando parábolas que passam por três pontos igualmente espaçados. Quando repetida em múltiplos subintervalos, ela oferece uma aproximação mais precisa.
  1. Dividir o Intervalo em 4 Subintervalos: Nosso intervalo de a será dividido em 4 partes iguais. O tamanho de cada subintervalo ( ) é:
    Os pontos serão: , , , , .
  2. Aplicar a Regra de Simpson 1/3 em Cada Par de Subintervalos:
    A fórmula da regra de Simpson 1/3 para dois subintervalos ( ) é:
    Como temos 4 subintervalos, aplicamos a regra em duas partes:
    • Primeira Aplicação (de a ):
    • Segunda Aplicação (de a ):
    Aqui, é a largura total dos dois subintervalos (cada subintervalo tem , então dois deles somam ).
  3. Calcular as Aproximações:
  • Calculando :
  • Substituindo nas Fórmulas:
    • Primeira Aplicação:
    • Segunda Aplicação:
  1. Somar as Aproximações das Aplicações:

Resposta

Aproximação da integral :
  • Quadratura Gaussiana:
  • Regra de Simpson 1/3:

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