Considere as integrais
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e
de Simpson repetida em 4 sub integrais
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando dois métodos diferentes: a quadratura gaussiana repetida em 2 subintervas com 2 pontos cada e a regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervas. A matéria envolve métodos numéricos de integração, que nos ajudam a aproximar o valor de integrais quando não conseguimos resolvê-las analiticamente. Vamos precisar entender como funcionam esses métodos e como aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Método 1: Quadratura Gaussiana com 2 Subintervalos e 2 Pontos Cada
Primeiro, a quadratura gaussiana é uma técnica que aproxima integrais definidas usando pontos específicos (chamados pontos de Gauss) e pesos associados a esses pontos. Para a quadratura gaussiana de 2 pontos, usamos pontos e pesos padrão que são mapeados para cada subintervalo.
-
Dividir o Intervalo em 2 Subintervalos: Nosso intervalo original é de
a . Vamos dividi-lo em 2 partes iguais: - Subintervalo 1:
- Subintervalo 2:
- Subintervalo 1:
-
Pontos e Pesos para 2 Pontos de Gauss:
- Pontos de Gauss (no intervalo
): , - Pesos:
,
- Pontos de Gauss (no intervalo
-
Transformar os Pontos para Cada Subintervalo:
A transformação de variáveis é usada para ajustar os pontos de Gauss para o intervalo específico: -
Subintervalo 1
: -
Subintervalo 2
:
-
-
Calcular a Integral em Cada Subintervalo:
A fórmula da quadratura gaussiana é:Para cada subintervalo,. -
Subintervalo 1:
-
Subintervalo 2:
-
-
Somar as Aproximações dos Subintervalos:
Vamos calcular cada parte:
-
Calculando
: -
-
Substituindo:
-
Total:
Passo 3
Método 2: Regra de Simpson 1/3 Repetida em 4 Subintervalos
A regra de Simpson 1/3 é uma técnica que aproxima integrais usando parábolas que passam por três pontos igualmente espaçados. Quando repetida em múltiplos subintervalos, ela oferece uma aproximação mais precisa.
-
Dividir o Intervalo em 4 Subintervalos: Nosso intervalo de
a será dividido em 4 partes iguais. O tamanho de cada subintervalo ( ) é: Os pontos serão:, , , , . -
Aplicar a Regra de Simpson 1/3 em Cada Par de Subintervalos:A fórmula da regra de Simpson 1/3 para dois subintervalos (
) é: Como temos 4 subintervalos, aplicamos a regra em duas partes:-
Primeira Aplicação (de
a ): -
Segunda Aplicação (de
a ):
Aqui,é a largura total dos dois subintervalos (cada subintervalo tem , então dois deles somam ). -
-
Calcular as Aproximações:
-
Calculando
: -
-
Substituindo nas Fórmulas:
-
Primeira Aplicação:
-
Segunda Aplicação:
-
- Somar as Aproximações das Aplicações:
Resposta
Aproximação da integral
:
- Quadratura Gaussiana:
- Regra de Simpson 1/3:
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