Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
f(x)=x e^x-5, phi(x)=5 e^-x, x0=1, varepsilon=10^-3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o zero da função usando o método do ponto fixo. Vamos utilizar a função para iterar a partir do ponto inicial . O critério de parada será quando ou após no máximo 20 iterações. Se a sequência não convergir, vamos justificar o motivo. Para resolver isso, precisamos entender como funciona o método do ponto fixo e aplicar as iterações corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método do ponto fixo. Nesse método, reformulamos a equação na forma . Aqui, nossa função já está dada como . A ideia é começar com um chute inicial e aplicar a função repetidamente para aproximar a raiz.

Passo 3

Começamos com o ponto inicial x1 = 5 e^-1 approx 5 times 0,3679 approx 1,8394 . Vamos calcular f(1,8394) = 1,8394 times e^1,8394 - 5 approx 1,8394 times 6,29 - 5 approx 11,57 - 5 = 6,57 .
Agora, verificamos se :
Como , precisamos continuar.

Passo 4

Calculamos x2 = 5 e^-1,8394 approx 5 times 0,1595 approx 0,7975 .
f(0,7975) = 0,7975 times e^0,7975 - 5 approx 0,7975 times 2,2204 - 5 approx 1,769 - 5 = -3,231
Verificamos :
Como , seguimos iterando.

Passo 5

Calculamos x3 = 5 e^-0,7975 approx 5 times 0,4508 approx 2,254 .
f(2,254) = 2,254 times e^2,254 - 5 approx 2,254 times 9,56 - 5 approx 21,56 - 5 = 16,56
Verificamos :
Como , continuamos.

Passo 6

Calculamos x4 = 5 e^-2,254 approx 5 times 0,1043 approx 0,5215 .
f(0,5215) = 0,5215 times e^0,5215 - 5 approx 0,5215 times 1,685 - 5 approx 0,878 - 5 = -4,122
Verificamos :
Como , seguimos iterando.

Passo 7

Calculamos x5 = 5 e^-0,5215 approx 5 times 0,5933 approx 2,9665 .
f(2,9665) = 2,9665 times e^2,9665 - 5 approx 2,9665 times 19,45 - 5 approx 57,68 - 5 = 52,68
Verificamos :
Como , parece que estamos aumentando em vez de convergir.

Passo 8

Após várias iterações, percebemos que os valores de estão alternando e aumentando sem se aproximar de um valor que satisfaça . Isso indica que a sequência está divergindo.

Resposta

A sequência iterativa não converge para um zero da função usando o método do ponto fixo com a partir de , pois os valores de estão aumentando alternadamente sem se aproximar da raiz, demonstrando divergência.

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