Considere as funções tabeladas
Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com cinco pontos: , , , e . A tarefa é encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos, ou seja, o polinômio interpolador. Vamos fazer isso de três jeitos diferentes: usando um sistema linear, a forma de Lagrange e a forma de Newton. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear e de métodos de interpolação polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver usando sistema linear. A ideia aqui é assumir que o polinômio tem a forma geral:
Como temos cinco pontos, precisamos de cinco equações para encontrar os cinco coeficientes .
Passo 3
Vamos substituir cada ponto na equação do polinômio:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema linear:
Sabemos que , então substituímos isso nas outras equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
Substituímos esse valor nas demais equações para simplificar:
Terceira equação:
Dividindo por 2:
Quarta equação:
Dividindo por 3:
Quinta equação:
Dividindo por 4:
Passo 6
Agora, temos um sistema com três equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda original da terceira:
Subtraindo a terceira original da quarta:
Passo 7
Agora, temos um sistema menor:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Passo 8
Agora, temos:
Subtraindo Eq1 de Eq2:
Agora, substituímos em Eq1:
Passo 9
Com e , voltamos para a equação anterior:
Agora, temos , , .
Passo 10
Finalmente, voltamos para a primeira equação das variáveis restantes: