Considere as funções tabeladas
f(0)=5 ; f(1)=0 ; f(2)=-9 ; f(3)=-10 ; f(4)=21
Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com cinco pontos: (0,5), (1,0), (2,-9), (3,-10) e (4,21). A tarefa é encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos, ou seja, o polinômio interpolador. Vamos fazer isso de três jeitos diferentes: usando um sistema linear, a forma de Lagrange e a forma de Newton. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear e de métodos de interpolação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver usando sistema linear. A ideia aqui é assumir que o polinômio tem a forma geral:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4
Como temos cinco pontos, precisamos de cinco equações para encontrar os cinco coeficientes a0, a1, a2, a3, a4.

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na equação do polinômio:
  1. Para (0,5):
5 = a0 + a1(0) + a2(0)^2 + a3(0)^3 + a4(0)^4 Rightarrow 5 = a0
  1. Para (1,0):
0 = a0 + a1(1) + a2(1)^2 + a3(1)^3 + a4(1)^4 Rightarrow 0 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4
  1. Para (2,-9):
-9 = a0 + a1(2) + a2(2)^2 + a3(2)^3 + a4(2)^4 Rightarrow -9 = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4
  1. Para (3,-10):
-10 = a0 + a1(3) + a2(3)^2 + a3(3)^3 + a4(3)^4 Rightarrow -10 = a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 + 81a4
  1. Para (4,21):
21 = a0 + a1(4) + a2(4)^2 + a3(4)^3 + a4(4)^4 Rightarrow 21 = a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema linear:
a0 = 5 a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 0 a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = -9 a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 + 81a4 = -10 a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = 21
Sabemos que a0 = 5, então substituímos isso nas outras equações:
5 + a1 + a2 + a3 + a4 = 0 5 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = -9 5 + 3a1 + 9a2 + 27a3 + 81a4 = -10 5 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = 21

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
5 + a1 + a2 + a3 + a4 = 0 Rightarrow a1 + a2 + a3 + a4 = -5
Substituímos esse valor nas demais equações para simplificar:
  1. Terceira equação:
5 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = -9 Rightarrow 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = -14
Dividindo por 2:
a1 + 2a2 + 4a3 + 8a4 = -7
  1. Quarta equação:
5 + 3a1 + 9a2 + 27a3 + 81a4 = -10 Rightarrow 3a1 + 9a2 + 27a3 + 81a4 = -15
Dividindo por 3:
a1 + 3a2 + 9a3 + 27a4 = -5
  1. Quinta equação:
5 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = 21 Rightarrow 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = 16
Dividindo por 4:
a1 + 4a2 + 16a3 + 64a4 = 4

Passo 6

Agora, temos um sistema com três equações:
a1 + a2 + a3 + a4 = -5 a1 + 2a2 + 4a3 + 8a4 = -7 a1 + 3a2 + 9a3 + 27a4 = -5 a1 + 4a2 + 16a3 + 64a4 = 4
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a1 + 2a2 + 4a3 + 8a4) - (a1 + a2 + a3 + a4) = -7 - (-5)
a2 + 3a3 + 7a4 = -2
Subtraindo a segunda original da terceira:
(a1 + 3a2 + 9a3 + 27a4) - (a1 + 2a2 + 4a3 + 8a4) = -5 - (-7)
a2 + 5a3 + 19a4 = 2
Subtraindo a terceira original da quarta:
(a1 + 4a2 + 16a3 + 64a4) - (a1 + 3a2 + 9a3 + 27a4) = 4 - (-5)
a2 + 7a3 + 37a4 = 9

Passo 7

Agora, temos um sistema menor:
a2 + 3a3 + 7a4 = -2 a2 + 5a3 + 19a4 = 2 a2 + 7a3 + 37a4 = 9
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a2 + 5a3 + 19a4) - (a2 + 3a3 + 7a4) = 2 - (-2)
2a3 + 12a4 = 4 Rightarrow a3 + 6a4 = 2 (Eq1)
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(a2 + 7a3 + 37a4) - (a2 + 5a3 + 19a4) = 9 - 2
2a3 + 18a4 = 7 Rightarrow a3 + 9a4 = 3.5 (Eq2)

Passo 8

Agora, temos:
a3 + 6a4 = 2 (Eq1) a3 + 9a4 = 3.5 (Eq2)
Subtraindo Eq1 de Eq2:
(a3 + 9a4) - (a3 + 6a4) = 3.5 - 2
3a4 = 1.5 Rightarrow a4 = 0.5
Agora, substituímos a4 = 0.5 em Eq1:
a3 + 6(0.5) = 2 Rightarrow a3 + 3 = 2 Rightarrow a3 = -1

Passo 9

Com a3 = -1 e a4 = 0.5, voltamos para a equação anterior:
a2 + 3a3 + 7a4 = -2
a2 + 3(-1) + 7(0.5) = -2 Rightarrow a2 -3 + 3.5 = -2 Rightarrow a2 + 0.5 = -2 Rightarrow a2 = -2.5
Agora, temos a2 = -2.5, a3 = -1, a4 = 0.5.

Passo 10

Finalmente, voltamos para a primeira equação das variáveis restantes:
a1 + a2 + a3 + a4 = -5
a1 + (-2.5) + (-1) + 0.5 = -5 Rightarrow a1 -3 = -5 Rightarrow a1 = -2

Resposta

O polinômio interpolador é:
P(x) = 5 - 2x - 2.5x^2 - x^3 + 0.5x^4

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