Considere as funções tabeladas

Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com cinco pontos: , , , e . A tarefa é encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos, ou seja, o polinômio interpolador. Vamos fazer isso de três jeitos diferentes: usando um sistema linear, a forma de Lagrange e a forma de Newton. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear e de métodos de interpolação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver usando sistema linear. A ideia aqui é assumir que o polinômio tem a forma geral:
Como temos cinco pontos, precisamos de cinco equações para encontrar os cinco coeficientes .

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na equação do polinômio:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema linear:
Sabemos que , então substituímos isso nas outras equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
Substituímos esse valor nas demais equações para simplificar:
  1. Terceira equação:
Dividindo por 2:
  1. Quarta equação:
Dividindo por 3:
  1. Quinta equação:
Dividindo por 4:

Passo 6

Agora, temos um sistema com três equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda original da terceira:
Subtraindo a terceira original da quarta:

Passo 7

Agora, temos um sistema menor:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda equação da terceira:

Passo 8

Agora, temos:
Subtraindo Eq1 de Eq2:
Agora, substituímos em Eq1:

Passo 9

Com e , voltamos para a equação anterior:
Agora, temos , , .

Passo 10

Finalmente, voltamos para a primeira equação das variáveis restantes:

Resposta

O polinômio interpolador é:

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