Considere os intervalos: A = [ − 1 , 4 ) , B = [ 1 , 5 ] , C = [ 2 , 5 ) e D = ( − ∞ , 3 ] O intervalo E = [ − 1 , 2 ) é o resultado de qual operação?
A) ( D − C ) ∩ ( A ∪ B )
B) ( D − C ) ∪ ( A ∩ B )
C) ( D ∪ C ) − ( A ∩ B )
D) ( D ∩ C ) ∪ ( A − B )
E) ( D ∪ C ) ∩ ( A − B )
A) ( D − C ) ∩ ( A ∪ B )
B) ( D − C ) ∪ ( A ∩ B )
C) ( D ∪ C ) − ( A ∩ B )
D) ( D ∩ C ) ∪ ( A − B )
E) ( D ∪ C ) ∩ ( A − B )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre operações com intervalos! A gente precisa descobrir qual das alternativas A, B, C, D ou E resulta no intervalo E = [−1, 2). Para isso, vamos usar conceitos de união (∪), interseção (∩) e diferença (−) entre conjuntos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada intervalo dado:
- $ A = [−1, 4) $: inclui todos os números de -1 até, mas sem incluir, 4.
- $ B = [1, 5] $: inclui todos os números de 1 até 5, incluindo o 5.
- $ C = [2, 5) $: inclui todos os números de 2 até, mas sem incluir, 5.
- $ D = (−∞, 3] $: inclui todos os números menores ou iguais a 3.
E queremos que o resultado das operações seja $ E = [−1, 2) $.
Passo 3
Vamos analisar cada alternativa para ver qual resulta em $ E $:
Alternativa A: $ (D - C) \cap (A \cup B) $
Primeiro, calcular $ D - C $:
$ D = (−∞, 3] $
$ C = [2, 5) $
$ D - C $ são os elementos de $ D $ que não estão em $ C $. Então:
$ D - C = (−∞, 2) \cup (3, 3] = (−∞, 2) $
Agora, calcular $ A \cup B $:
$ A = [−1, 4) $
$ B = [1, 5] $
A união $ A \cup B $ é todos os números de -1 até 5:
$ A \cup B = [−1, 5] $
Agora, a interseção $ (D - C) \cap (A \cup B) $:
$ (−∞, 2) \cap [−1, 5] = [−1, 2) $
Passo 4
Vimos que a alternativa A resulta em $ [−1, 2) $, que é exatamente o intervalo $ E $ que queremos. Portanto, não precisamos analisar as outras alternativas.
Resposta
Alternativa A) $ ( D - C ) \cap ( A \cup B ) $ resulta no intervalo $ E = [−1, 2) $.