Calcule o número de iterações necessárias, no método da bissecção, para identificar a raiz de uma função sabendo que essa pertence ao intervalo I [1, 3] e com erro e < 0,0001
a. 16 iterações
b. 14 iterações
c. 15 iterações
d. 13 iterações
e. 17 iterações
a. 16 iterações
b. 14 iterações
c. 15 iterações
d. 13 iterações
e. 17 iterações
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o método da bissecção! A gente precisa encontrar o número de iterações necessárias para identificar a raiz de uma função no intervalo [1, 3], com um erro menor que 0,0001. Para isso, vamos usar a fórmula que nos diz quantas vezes precisamos dividir o intervalo pela metade até chegar na precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para determinar o número mínimo de iterações no método da bissecção:
Onde:
- $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo inicial.
- $ \varepsilon $ é o erro máximo permitido.
- $ n $ é o número de iterações.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos no problema:
- $ a = 1 $
- $ b = 3 $
- $ \varepsilon = 0,0001 $
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos calcular $ \log_2(20000) $. Vamos fazer isso passo a passo:
Sabemos que $ 2^{14} = 16384 $ e $ 2^{15} = 32768 $.
Como 20000 está entre 16384 e 32768, podemos estimar:
Passo 5
Como o número de iterações deve ser um número inteiro, precisamos arredondar para cima para garantir que o erro seja menor que 0,0001. Portanto:
Resposta
c. 15 iterações