Considere um lançamento oblíquo no qual verificou-se que o tempo total do movimento foi t1. Além disso, foi medido o tempo necessário para que esse objeto atingisse uma certa altura h, continuasse seu movimento de subida e então retornasse a esta mesma altura, tendo sido esse tempo t2. Com base nesse experimento, determine a aceleração da gravidade.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema de lançamento oblíquo, que é quando um objeto é lançado com uma certa velocidade e em um ângulo, fazendo ele seguir uma trajetória curva. Aqui, sabemos o tempo total do movimento ( ) e o tempo ( ) que o objeto leva para ir até uma certa altura , continuar subindo e depois voltar para essa mesma altura. Nosso objetivo é descobrir a aceleração da gravidade ( ) usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no lançamento oblíquo, a velocidade vertical inicial ( t1 = 2 v0yg ) está relacionada com o tempo total de voo ( ) pela fórmula:
Isso porque o objeto leva para subir até o ponto mais alto e o mesmo tempo para descer de volta ao ponto de lançamento, totalizando .

Passo 3

Agora, vamos analisar o tempo t2 = 2 v0y - 2 raizv0y^2 - 2 g hg . Esse tempo corresponde ao intervalo entre duas passagens pela mesma altura t2 = 2 raiz2(H - h)g : uma na subida e outra na descida. A fórmula que relaciona esse intervalo de tempo com a velocidade inicial vertical e a gravidade é:
t2 = tsubida a h + tdescida a h = v0y - raizv0y^2 - 2 g hg + v0y + raizv0y^2 - 2 g hg - 2 v0yg
No entanto, para simplificar, podemos usar outra abordagem. Sabemos que o objeto atinge a altura máxima onde . A altura está abaixo de , e o tempo para ir de até e voltar para é .
A distância entre e pode ser relacionada com o tempo usando a fórmula:
Mas, para facilitar, vamos usar a relação que o tempo entre as duas passagens pela altura é:
Simplificando, obtemos uma relação direta com .

Passo 4

Para resolver de forma mais direta, vamos expressar v0y = g t12 da primeira equação em termos de t2 = 2 ( g t12 ) - 2 raiz( g t12 )^2 - 2 g hg :
t2 = t1 - 2 raizg^2 t1^24 - 2 g hg
Agora, substituímos na equação do tempo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar g t2 = g t1 - 2 raizg^2 t1^24 - 2 g h . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 raizg^2 t1^24 - 2 g h = g t1 - g t2 :
raizg^2 t1^24 - 2 g h = g (t1 - t2)2
Isolando a raiz:
g^2 t1^24 - 2 g h = g^2 (t1 - t2)^24
Dividindo por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 6

Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
g^2 t1^2 - 8 g h = g^2 (t1 - t2)^2
Expandindo o lado direito:
g^2 t1^2 - 8 g h = g^2 t1^2 - 2 g^2 t1 t2 + g^2 t2^2
Subtraindo -8 g h = -2 g^2 t1 t2 + g^2 t2^2 de ambos os lados:

Passo 7

Dividindo todos os termos por -8 h = -2 g t1 t2 + g t2^2 (assumindo g t2^2 - 2 g t1 t2 + 8 h = 0 ):
Rearranjando os termos:

Passo 8

Fatorando g (t2^2 - 2 t1 t2) = -8 h :
g = -8 ht2^2 - 2 t1 t2
Isolando g = 8 h2 t1 t2 - t2^2 :
Simplificando os sinais:

Resposta

A aceleração da gravidade é:
g = 8 h2 t1 t2 - t2^2

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