Considere um lançamento oblíquo no qual verificou-se que o tempo total do movimento foi . Além disso, foi medido o tempo necessário para que esse objeto atingisse uma certa altura , continuasse seu movimento de subida e então retornasse a esta mesma altura, tendo sido esse tempo . Com base nesse experimento, determine a aceleração da gravidade.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema de lançamento oblíquo, que é quando um objeto é lançado com uma certa velocidade e em um ângulo, fazendo ele seguir uma trajetória curva. Aqui, sabemos o tempo total do movimento ( ) e o tempo ( ) que o objeto leva para ir até uma certa altura , continuar subindo e depois voltar para essa mesma altura. Nosso objetivo é descobrir a aceleração da gravidade ( ) usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no lançamento oblíquo, a velocidade vertical inicial ( ) está relacionada com o tempo total de voo ( ) pela fórmula:
Isso porque o objeto leva para subir até o ponto mais alto e o mesmo tempo para descer de volta ao ponto de lançamento, totalizando .

Passo 3

Agora, vamos analisar o tempo . Esse tempo corresponde ao intervalo entre duas passagens pela mesma altura : uma na subida e outra na descida. A fórmula que relaciona esse intervalo de tempo com a velocidade inicial vertical e a gravidade é:
No entanto, para simplificar, podemos usar outra abordagem. Sabemos que o objeto atinge a altura máxima onde . A altura está abaixo de , e o tempo para ir de até e voltar para é .
A distância entre e pode ser relacionada com o tempo usando a fórmula:
Mas, para facilitar, vamos usar a relação que o tempo entre as duas passagens pela altura é:
Simplificando, obtemos uma relação direta com .

Passo 4

Para resolver de forma mais direta, vamos expressar da primeira equação em termos de :
Agora, substituímos na equação do tempo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Isolando a raiz:
Dividindo por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 6

Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Dividindo todos os termos por (assumindo ):
Rearranjando os termos:

Passo 8

Fatorando :
Isolando :
Simplificando os sinais:

Resposta

A aceleração da gravidade é:

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