Considere um lançamento oblíquo no qual verificou-se que o tempo total do movimento foi
. Além disso, foi medido o tempo necessário para que esse objeto atingisse uma certa altura
, continuasse seu movimento de subida e então retornasse a esta mesma altura, tendo sido esse tempo
. Com base nesse experimento, determine a aceleração da gravidade.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um problema de lançamento oblíquo, que é quando um objeto é lançado com uma certa velocidade e em um ângulo, fazendo ele seguir uma trajetória curva. Aqui, sabemos o tempo total do movimento (
) e o tempo (
) que o objeto leva para ir até uma certa altura
, continuar subindo e depois voltar para essa mesma altura. Nosso objetivo é descobrir a aceleração da gravidade (
) usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no lançamento oblíquo, a velocidade vertical inicial (
) está relacionada com o tempo total de voo (
) pela fórmula:
Isso porque o objeto leva
para subir até o ponto mais alto e o mesmo tempo para descer de volta ao ponto de lançamento, totalizando
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o tempo
. Esse tempo corresponde ao intervalo entre duas passagens pela mesma altura
: uma na subida e outra na descida. A fórmula que relaciona esse intervalo de tempo com a velocidade inicial vertical e a gravidade é:
No entanto, para simplificar, podemos usar outra abordagem. Sabemos que o objeto atinge a altura máxima
onde
. A altura
está abaixo de
, e o tempo para ir de
até
e voltar para
é
.
A distância entre
e
pode ser relacionada com o tempo usando a fórmula:
Mas, para facilitar, vamos usar a relação que o tempo entre as duas passagens pela altura
é:
Simplificando, obtemos uma relação direta com
.
Passo 4
Para resolver de forma mais direta, vamos expressar
da primeira equação em termos de
:
Agora, substituímos
na equação do tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Isolando a raiz:
Dividindo por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 6
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Rearranjando os termos:
Passo 8
Fatorando
:
Isolando
:
Simplificando os sinais:
Resposta
A aceleração da gravidade é:
Exercícios relacionados
Uma pedra é lançada do topo de um penhasco de altura
por uma pessoa com altura
formando um ângulo
com a horizontal. Considerando que o módulo da velocidade de saída é
, determine a que distância do penhasco deve estar uma segunda pessoa de altura
para que ela possa pegar a pedra arremessada.
Considerando que o módulo da velocidade de saída do projétil seja suficiente para que ele possa se deslocar ao menos a distância
antes que retorne a sua altura inicial, determine qual deve ser o ângulo
para que o projétil sempre atinja o alvo em queda.
Duas esferas condutoras idênticas, uma com carga inicial Q e a outra descarregada, são postas em contato. (a) Qual a carga de cada esfera?
Com as esferas em contato, um bastão negativamente carregado é aproximado de uma delas, que fica então, com carga 2Q. Qual a carga na outra esfera?