Uma pedra é lançada do topo de um penhasco de altura por uma pessoa com altura formando um ângulo com a horizontal. Considerando que o módulo da velocidade de saída é , determine a que distância do penhasco deve estar uma segunda pessoa de altura para que ela possa pegar a pedra arremessada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra sendo lançada do topo de um penhasco com altura por uma pessoa de altura . A pedra é lançada com uma velocidade inicial que faz um ângulo com a horizontal. O objetivo aqui é descobrir a que distância horizontal da base do penhasco uma segunda pessoa, de altura , deve estar para conseguir pegar a pedra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a pedra está seguindo um movimento chamado movimento projetil. Esse tipo de movimento tem duas componentes: horizontal e vertical. Vamos separar essas duas direções para resolver o problema.

Passo 3

Na direção horizontal, a pedra tem uma velocidade constante, já que não tem aceleração (ignorando o vento e outras resistências). A velocidade horizontal é dada por:

Passo 4

Na direção vertical, a pedra está sujeita à aceleração da gravidade . A posição vertical da pedra em função do tempo é:
Queremos que essa posição seja igual à altura da segunda pessoa quando a pedra a alcançar, ou seja:

Passo 5

Vamos organizar essa equação para encontrar o tempo que a pedra leva para atingir a altura :
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:

Passo 6

Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como o tempo não pode ser negativo, vamos considerar apenas a solução positiva.

Passo 7

Agora que temos o tempo , podemos encontrar a distância horizontal usando a velocidade horizontal:
Substituindo da equação anterior:

Resposta

A distância horizontal onde a segunda pessoa deve estar para pegar a pedra é:

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