Uma pedra é lançada do topo de um penhasco de altura H por uma pessoa com altura h1 formando um ângulo theta com a horizontal. Considerando que o módulo da velocidade de saída é v0, determine a que distância do penhasco deve estar uma segunda pessoa de altura h2 para que ela possa pegar a pedra arremessada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra sendo lançada do topo de um penhasco com altura por uma pessoa de altura . A pedra é lançada com uma velocidade inicial que faz um ângulo com a horizontal. O objetivo aqui é descobrir a que distância horizontal da base do penhasco uma segunda pessoa, de altura , deve estar para conseguir pegar a pedra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a pedra está seguindo um movimento chamado movimento projetil. Esse tipo de movimento tem duas componentes: horizontal e vertical. Vamos separar essas duas direções para resolver o problema.

Passo 3

Na direção horizontal, a pedra tem uma velocidade constante, já que não tem aceleração (ignorando o vento e outras resistências). A velocidade horizontal é dada por:
vx = v0 cos(theta)

Passo 4

Na direção vertical, a pedra está sujeita à aceleração da gravidade y(t) = H + h1 + v0 sin(theta) t - 12 g t^2 . A posição vertical da pedra em função do tempo é:
H + h1 + v0 sin(theta) t - 12 g t^2 = h2
Queremos que essa posição seja igual à altura da segunda pessoa quando a pedra a alcançar, ou seja:

Passo 5

Vamos organizar essa equação para encontrar o tempo 12 g t^2 - v0 sin(theta) t + (h2 - H - h1) = 0 que a pedra leva para atingir a altura :
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:

Passo 6

Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
t = v0 sin(theta) pm raizv0^2 sin^2(theta) - 2g (h2 - H - h1)g
Como o tempo não pode ser negativo, vamos considerar apenas a solução positiva.

Passo 7

Agora que temos o tempo d = vx t = v0 cos(theta) t , podemos encontrar a distância horizontal d = v0 cos(theta) ( v0 sin(theta) + raizv0^2 sin^2(theta) - 2g (h2 - H - h1)g ) usando a velocidade horizontal:
Substituindo da equação anterior:

Resposta

A distância horizontal d = v0 cos(theta)g ( v0 sin(theta) + raizv0^2 sin^2(theta) - 2g (h2 - H - h1) ) onde a segunda pessoa deve estar para pegar a pedra é:

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