Considere a largura de um carro uma variável aleatória modelada por uma distribuição normal com média
e desvio padrão 13 cm . Para um trânsito controlado tem-se que os carros devem manter uma distância de 50 cm entre eles e uma distância da parede de 30 cm que devem ser mantidas quando os carros estiverem estacionados.
Deseja-se estacionar quatro carros em uma garagem. Que largura deve ter a garagem, para que, com probabilidade de pelo menos 0,8 os carros sejam estacionados nela.
Deseja-se estacionar quatro carros em uma garagem. Que largura deve ter a garagem, para que, com probabilidade de pelo menos 0,8 os carros sejam estacionados nela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve estatística, especificamente a distribuição normal. A gente sabe que a largura de um carro segue uma distribuição normal com média de 1,85 metros e desvio padrão de 13 centímetros. A questão pede para descobrir qual deve ser a largura de uma garagem para estacionar quatro carros, mantendo as distâncias necessárias entre eles e da parede. Queremos que a probabilidade de conseguir estacionar esses quatro carros na garagem seja pelo menos 80%.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os espaços que precisamos considerar para estacionar os carros:
- Largura dos carros: Como temos quatro carros, a largura total ocupada pelos carros será
. - Distâncias entre os carros: Existem três espaços entre os quatro carros, cada um de 0,5 metros.
- Distância da parede: Temos duas distâncias de 0,3 metros, uma de cada lado da garagem.
Então, a largura total da garagem (
) será a soma da largura dos carros, das distâncias entre eles e das distâncias das paredes.
Passo 3
Vamos calcular a largura total necessária:
Mas aí já está fixando a largura da garagem, o que não resolve o problema. O desafio é considerar a variabilidade na largura dos carros porque ela é uma variável aleatória.
Passo 4
Como a largura de cada carro é uma variável aleatória, a largura total ocupada pelos quatro carros também será uma variável aleatória. Vamos chamar
a largura total ocupada pelos carros:
Como a largura de um carro segue uma distribuição normal
, onde
e
, a soma de quatro variáveis normais também segue uma distribuição normal com média e variância somadas:
Passo 5
Agora, queremos que a probabilidade de
seja pelo menos 0,8 (80%). As distâncias fixas somam:
Então, queremos:
Isso é equivalente a:
Passo 6
Vamos definir
, onde
é o ponto que precisamos encontrar para que
.
Usando a distribuição normal de
, queremos encontrar
tal que:
Onde
é o valor da distribuição normal padrão que corresponde a uma probabilidade de 0,8. Consultando uma tabela de valores z ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Então,
.
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Resposta
A garagem deve ter uma largura de pelo menos 9,72 metros para que, com probabilidade de pelo menos 80%, os quatro carros sejam estacionados nela.