Considere a largura de um carro uma variável aleatória modelada por uma distribuição normal com média 1,85 m e desvio padrão 13 cm . Para um trânsito controlado tem-se que os carros devem manter uma distância de 50 cm entre eles e uma distância da parede de 30 cm que devem ser mantidas quando os carros estiverem estacionados.
Deseja-se estacionar quatro carros em uma garagem. Que largura deve ter a garagem, para que, com probabilidade de pelo menos 0,8 os carros sejam estacionados nela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve estatística, especificamente a distribuição normal. A gente sabe que a largura de um carro segue uma distribuição normal com média de 1,85 metros e desvio padrão de 13 centímetros. A questão pede para descobrir qual deve ser a largura de uma garagem para estacionar quatro carros, mantendo as distâncias necessárias entre eles e da parede. Queremos que a probabilidade de conseguir estacionar esses quatro carros na garagem seja pelo menos 80%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os espaços que precisamos considerar para estacionar os carros:
  • Largura dos carros: Como temos quatro carros, a largura total ocupada pelos carros será 4 times média = 4 times 1,85, mé.
  • Distâncias entre os carros: Existem três espaços entre os quatro carros, cada um de 0,5 metros.
  • Distância da parede: Temos duas distâncias de 0,3 metros, uma de cada lado da garagem.
Então, a largura total da garagem ( L) será a soma da largura dos carros, das distâncias entre eles e das distâncias das paredes.

Passo 3

Vamos calcular a largura total necessária:
L = (4 times 1,85) + (3 times 0,5) + (2 times 0,3)
L = 7,4, m + 1,5, m + 0,6, m = 9,5, m
Mas aí já está fixando a largura da garagem, o que não resolve o problema. O desafio é considerar a variabilidade na largura dos carros porque ela é uma variável aleatória.

Passo 4

Como a largura de cada carro é uma variável aleatória, a largura total ocupada pelos quatro carros também será uma variável aleatória. Vamos chamar X a largura total ocupada pelos carros:
X = 4 times Largura de um carro
Como a largura de um carro segue uma distribuição normal N(mu, sigma^2), onde mu = 1,85, m e sigma = 0,13, m, a soma de quatro variáveis normais também segue uma distribuição normal com média e variância somadas:
muX = 4 times 1,85 = 7,4, m
sigmaX = raiz4 times 0,13 = 0,26, m

Passo 5

Agora, queremos que a probabilidade de X + distâncias <= Lâ seja pelo menos 0,8 (80%). As distâncias fixas somam:
Distâncias = (3 times 0,5) + (2 times 0,3) = 1,5 + 0,6 = 2,1, m â
Então, queremos:
P(X + 2,1 <= L) >= 0,8
Isso é equivalente a:
P(X <= L - 2,1) >= 0,8

Passo 6

Vamos definir L - 2,1 = k, onde k é o ponto que precisamos encontrar para que P(X <= k) = 0,8.
Usando a distribuição normal de X, queremos encontrar k tal que:
k - muXsigmaX = z0,8
Onde z0,8 é o valor da distribuição normal padrão que corresponde a uma probabilidade de 0,8. Consultando uma tabela de valores z ou usando uma calculadora, encontramos que z0,8 approx 0,84.

Passo 7

Agora, resolvemos para k:
k = muX + z0,8 times sigmaX = 7,4 + 0,84 times 0,26 approx 7,4 + 0,2184 = 7,6184, m
Então, k approx 7,62, m.

Passo 8

Lembrando que k = L - 2,1, temos:
L = k + 2,1 = 7,62 + 2,1 = 9,72, m

Resposta

A garagem deve ter uma largura de pelo menos 9,72 metros para que, com probabilidade de pelo menos 80%, os quatro carros sejam estacionados nela.

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