Considere a largura de um carro uma variável aleatória modelada por uma distribuição normal com média 1,85 m e desvio padrão 13 cm . Para um trânsito controlado tem-se que os carros devem manter uma distância de 50 cm entre eles e uma distância da parede de 30 cm que devem ser mantidas quando os carros estiverem estacionados.
Qual é a probabilidade de que os carros possam passar (um carro indo e outro voltando) em um corredor de 4,50 m ? Você considera suficiente a largura do corredor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a largura de um carro, que é uma variável aleatória seguindo uma distribuição normal com média de 1,85 , m e desvio padrão de 0,13 , m. A gente precisa calcular a probabilidade de dois carros (um indo e outro voltando) passarem por um corredor que tem 4,50 , m de largura, respeitando as distâncias mínimas de 0,50 , m entre eles e 0,30 , m das paredes. Vamos usar conceitos de estatística e distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular. Para que os dois carros passem pelo corredor simultaneamente, a soma das larguras dos dois carros mais as distâncias entre eles e das paredes deve ser menor ou igual a 4,50 , m.
Matematicamente, isso fica:
X1 + X2 + 0,50 + 2 times 0,30 <= 4,50
Onde X1 e X2 são as larguras dos dois carros.

Passo 3

Simplificando a expressão:
X1 + X2 + 0,50 + 0,60 <= 4,50
X1 + X2 <= 4,50 - 0,50 - 0,60
X1 + X2 <= 3,40 , m
Então, a soma das larguras dos dois carros deve ser no máximo 3,40 , m.

Passo 4

Como X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e ambas seguem uma distribuição normal com média 1,85 , m e desvio padrão 0,13 , m, a soma S = X1 + X2 também seguirá uma distribuição normal.
A média de S será:
muS = muX1 + muX2 = 1,85 + 1,85 = 3,70 , m
E o desvio padrão de S será:
sigmaS = raizsigmaX1^2 + sigmaX2^2 = raiz0,13^2 + 0,13^2 approx 0,183 , m

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de S <= 3,40 , m. Para isso, vamos padronizar a variável e usar a tabela da distribuição normal padrão.
A padronização é feita por:
Z = S - muSsigmaS = 3,40 - 3,700,183 approx -1,64

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z <= -1,64) approx 0,0505 ou 5,05%

Passo 7

Isso significa que há aproximadamente 5,05% de chance de que a soma das larguras dos dois carros seja menor ou igual a 3,40 , m, permitindo que eles passem pelo corredor de 4,50 , m respeitando as distâncias exigidas.

Resposta

A probabilidade de os carros passarem pelo corredor é de aproximadamente 5,05%. Portanto, a largura do corredor de 4,50 , m não é considerada suficiente.

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