Considere a largura de um carro uma variável aleatória modelada por uma distribuição normal com média
e desvio padrão 13 cm . Para um trânsito controlado tem-se que os carros devem manter uma distância de 50 cm entre eles e uma distância da parede de 30 cm que devem ser mantidas quando os carros estiverem estacionados.
Qual é a probabilidade de que os carros possam passar (um carro indo e outro voltando) em um corredor de
? Você considera suficiente a largura do corredor?
Qual é a probabilidade de que os carros possam passar (um carro indo e outro voltando) em um corredor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a largura de um carro, que é uma variável aleatória seguindo uma distribuição normal com média de
e desvio padrão de
. A gente precisa calcular a probabilidade de dois carros (um indo e outro voltando) passarem por um corredor que tem
de largura, respeitando as distâncias mínimas de
entre eles e
das paredes. Vamos usar conceitos de estatística e distribuição normal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular. Para que os dois carros passem pelo corredor simultaneamente, a soma das larguras dos dois carros mais as distâncias entre eles e das paredes deve ser menor ou igual a
.
Matematicamente, isso fica:
Onde
e
são as larguras dos dois carros.
Passo 3
Simplificando a expressão:
Então, a soma das larguras dos dois carros deve ser no máximo
.
Passo 4
Como
e
são variáveis aleatórias independentes e ambas seguem uma distribuição normal com média
e desvio padrão
, a soma
também seguirá uma distribuição normal.
A média de
será:
E o desvio padrão de
será:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
. Para isso, vamos padronizar a variável e usar a tabela da distribuição normal padrão.
A padronização é feita por:
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 7
Isso significa que há aproximadamente
de chance de que a soma das larguras dos dois carros seja menor ou igual a
, permitindo que eles passem pelo corredor de
respeitando as distâncias exigidas.
Resposta
A probabilidade de os carros passarem pelo corredor é de aproximadamente
. Portanto, a largura do corredor de
não é considerada suficiente.