Seja X sim N(4 ; 1). Calcule:
P(4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ 4 $ e desvio padrão $ 1 $ (escrito como $ X \sim N(4 ; 1) $). O exercício quer que calculemos a probabilidade de $ X $ estar entre $ 4 $ e $ 5 $, ou seja, $ P(4 < X \leq 5) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

A distribuição normal é uma das mais importantes na estatística e tem a forma de um sino simétrico em torno da média. Quando queremos encontrar a probabilidade de uma variável normal estar em um certo intervalo, geralmente padronizamos a variável para transformar em uma distribuição normal padrão $ Z $, que tem média $ 0 $ e desvio padrão $ 1 $.

Passo 3

Para padronizar $ X $, usamos a fórmula:
X
onde $ \mu $ é a média e $ \sigma $ é o desvio padrão. No nosso caso, $ \mu = 4 $ e $ \sigma = 1 $. Então, para $ X = 4 $:
Z = X - musigma
E para $ X = 5 $:
mu

Passo 4

Agora, queremos encontrar $ P(4 < X \leq 5) $, que se transforma em $ P(0 < Z \leq 1) $ após a padronização. Isso significa que estamos procurando a área sob a curva da distribuição normal padrão entre $ Z = 0 $ e $ Z = 1 $.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos o valor correspondente a $ Z = 1 $. A tabela geralmente nos dá a probabilidade acumulada desde $ -\infty $ até um ponto $ Z $. O valor para $ Z = 1 $ é aproximadamente $ 0,8413 $ e para $ Z = 0 $ é $ 0,5 $ (já que é a média).

Passo 6

Para encontrar a probabilidade entre $ Z = 0 $ e $ Z = 1 $, subtraímos o valor de $ Z = 0 $ do valor de $ Z = 1 $:
Z = 0

Resposta

A probabilidade $ P(4 < X \leq 5) $ é aproximadamente $ 0,3413 $, ou seja, 34,13%.

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