Considere uma massa
movendo-se em duas dimensões com energia potencial
, onde
. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas
e
, e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para encontrar a Lagrangiana de uma massa que se move em duas dimensões, usando as coordenadas
e
. Além disso, precisamos determinar as duas equações de movimento de Lagrange e descrever suas soluções. Para isso, vamos trabalhar com a mecânica lagrangiana, que usa a energia cinética e a energia potencial para formular as equações do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a energia cinética da massa. Como a massa se move em duas dimensões, a energia cinética
é dada por:
Aqui,
e
representam as velocidades nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia potencial
fornecida no enunciado:
Onde
é a constante elástica e
é a distância da massa à origem.
Passo 4
A Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 5
Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange, que para cada coordenada
são:
Vamos aplicar isso para
e
.
Passo 6
Primeiro, para a coordenada
:
Passo 7
Agora, para a coordenada
:
Passo 8
As equações de movimento que obtivemos são:
Essas são equações diferenciais do segundo grau que descrevem oscilações harmônicas simples nas direções
e
.
Resposta
As duas equações de movimento de Lagrange são:
Essas equações indicam que a massa executa oscilações harmônicas simples nas direções
e
, com frequências determinadas pela constante elástica
e pela massa
.
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, obtenha as três equações de movimento para as coordenadas relativas
e
e mostre claramente que o movimento da posição relativa
é o mesmo que o de uma única partícula com posição
, energia potencial
e massa igual à massa reduzida
.