Considere uma massa m movendo-se em duas dimensões com energia potencial U(x, y)=12 k r^2, onde r^2=x^2+y^2. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas x e y, e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para encontrar a Lagrangiana de uma massa que se move em duas dimensões, usando as coordenadas e . Além disso, precisamos determinar as duas equações de movimento de Lagrange e descrever suas soluções. Para isso, vamos trabalhar com a mecânica lagrangiana, que usa a energia cinética e a energia potencial para formular as equações do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a energia cinética da massa. Como a massa se move em duas dimensões, a energia cinética T = 12 m (dotx^2 + doty^2) é dada por:
Aqui, e representam as velocidades nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia potencial U(x, y) = 12 k r^2 = 12 k (x^2 + y^2) fornecida no enunciado:
Onde é a constante elástica e é a distância da massa à origem.

Passo 4

A Lagrangiana L = T - U = 12 m (dotx^2 + doty^2) - 12 k (x^2 + y^2) é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 5

Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange, que para cada coordenada ddt ( partial Lpartial dotq ) - partial Lpartial q = 0 são:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 6

Primeiro, para a coordenada partial Lpartial dotx = m dotx :
ddt ( m dotx ) = m ddotx
partial Lpartial x = -k x
m ddotx + k x = 0

Passo 7

Agora, para a coordenada partial Lpartial doty = m doty :
ddt ( m doty ) = m ddoty
partial Lpartial y = -k y
m ddoty + k y = 0

Passo 8

As equações de movimento que obtivemos são:
m ddotx + k x = 0
m ddoty + k y = 0
Essas são equações diferenciais do segundo grau que descrevem oscilações harmônicas simples nas direções e .

Resposta

As duas equações de movimento de Lagrange são:
m ddotx + k x = 0
m ddoty + k y = 0
Essas equações indicam que a massa executa oscilações harmônicas simples nas direções e , com frequências determinadas pela constante elástica e pela massa .

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