Considere uma massa movendo-se em duas dimensões com energia potencial , onde . Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas e , e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para encontrar a Lagrangiana de uma massa que se move em duas dimensões, usando as coordenadas e . Além disso, precisamos determinar as duas equações de movimento de Lagrange e descrever suas soluções. Para isso, vamos trabalhar com a mecânica lagrangiana, que usa a energia cinética e a energia potencial para formular as equações do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a energia cinética da massa. Como a massa se move em duas dimensões, a energia cinética é dada por:
Aqui, e representam as velocidades nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia potencial fornecida no enunciado:
Onde é a constante elástica e é a distância da massa à origem.

Passo 4

A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 5

Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange, que para cada coordenada são:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 6

Primeiro, para a coordenada :

Passo 7

Agora, para a coordenada :

Passo 8

As equações de movimento que obtivemos são:
Essas são equações diferenciais do segundo grau que descrevem oscilações harmônicas simples nas direções e .

Resposta

As duas equações de movimento de Lagrange são:
Essas equações indicam que a massa executa oscilações harmônicas simples nas direções e , com frequências determinadas pela constante elástica e pela massa .

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