Usando a Lagrangiana
, obtenha as três equações de movimento para as coordenadas relativas
e
e mostre claramente que o movimento da posição relativa
é o mesmo que o de uma única partícula com posição
, energia potencial
e massa igual à massa reduzida
.
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem um exercício de Mecânica Lagrangiana onde precisa usar a Lagrangiana dada para encontrar as três equações de movimento nas coordenadas relativas
e
. Basicamente, queremos mostrar que o movimento da posição relativa
é igual ao de uma única partícula com massa reduzida
e energia potencial
. Para resolver isso, vamos precisar usar as Equações de Euler-Lagrange, que são fundamentais na Mecânica Lagrangiana para derivar as equações de movimento de um sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lagrangiana fornecida:
Aqui,
é a posição do centro de massa e
é a posição relativa entre as partículas. A primeira parte da Lagrangiana representa a energia cinética do centro de massa, e a segunda parte representa a energia cinética relativa menos a energia potencial
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as Equações de Euler-Lagrange para cada coordenada relativa
,
e
. A Equação de Euler-Lagrange é:
onde
representa cada coordenada (
). Vamos começar com a coordenada
.
Para
:
Aplicando a Equação de Euler-Lagrange:
Passo 4
Fazendo o mesmo para as coordenadas
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
As três equações de movimento para as coordenadas relativas são:
Isso mostra que o movimento da posição relativa
é equivalente ao de uma única partícula com posição
, potencial
e massa reduzida
, conforme queríamos demonstrar.
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, onde
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e
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