Usando a Lagrangiana L=12 M dotR^2+(12 mu dotr^2-U(r)), obtenha as três equações de movimento para as coordenadas relativas x, y e z e mostre claramente que o movimento da posição relativa r é o mesmo que o de uma única partícula com posição r, energia potencial U(r) e massa igual à massa reduzida mu.

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um exercício de Mecânica Lagrangiana onde precisa usar a Lagrangiana dada para encontrar as três equações de movimento nas coordenadas relativas e . Basicamente, queremos mostrar que o movimento da posição relativa é igual ao de uma única partícula com massa reduzida e energia potencial . Para resolver isso, vamos precisar usar as Equações de Euler-Lagrange, que são fundamentais na Mecânica Lagrangiana para derivar as equações de movimento de um sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lagrangiana fornecida:
L = 12 M dotR^2 + ( 12 mu dotr^2 - U(r) )
Aqui, é a posição do centro de massa e é a posição relativa entre as partículas. A primeira parte da Lagrangiana representa a energia cinética do centro de massa, e a segunda parte representa a energia cinética relativa menos a energia potencial .

Passo 3

Agora, vamos aplicar as Equações de Euler-Lagrange para cada coordenada relativa ddt ( partial Lpartial dotq ) - partial Lpartial q = 0 , partial Lpartial dotx = mu dotx e ddt ( mu dotx ) = mu ddotx . A Equação de Euler-Lagrange é:
partial Lpartial x = -partial Upartial x
onde mu ddotx + partial Upartial x = 0 representa cada coordenada ( ). Vamos começar com a coordenada .
Para :
Aplicando a Equação de Euler-Lagrange:

Passo 4

Fazendo o mesmo para as coordenadas mu ddoty + partial Upartial y = 0 e mu ddotz + partial Upartial z = 0 :
Para :
Para :

Resposta

As três equações de movimento para as coordenadas relativas são:
mu ddotx + partial Upartial x = 0
mu ddoty + partial Upartial y = 0
mu ddotz + partial Upartial z = 0
Isso mostra que o movimento da posição relativa é equivalente ao de uma única partícula com posição , potencial e massa reduzida , conforme queríamos demonstrar.

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