Considere a matriz identidade I4, de ordem 4 . Seja D=2 I4, calcule D^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a matriz identidade , que é uma matriz quadrada de ordem 4 com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições. A questão define uma nova matriz e pede para a gente encontrar a inversa dessa matriz, . Vamos usar conceitos de matrizes e inversão de matrizes para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar a matriz identidade por um escalar. A matriz identidade I4 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 é assim:
D = 2I4 = 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 2
Quando multiplicamos por 2, cada elemento da matriz identidade é multiplicado por 2, ficando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inversa de , ou seja, . A inversa de uma matriz é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para matrizes diagonais como , a inversa é fácil de calcular: basta inverter cada elemento da diagonal.

Passo 4

Então, para encontrar D^-1 = 12I4 = 12 & 0 & 0 & 0 0 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 0 & 12 , vamos inverter cada 2 na diagonal principal. O inverso de 2 é . Portanto, a matriz inversa fica:

Resposta

A matriz inversa de D^-1 = 12I4 = 12 & 0 & 0 & 0 0 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 0 & 12 é:

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