Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois calcular o produto vetorial desses vetores para determinar a normal do plano.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores. Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o determinante:
n = 12i + 2j - 9k
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 12(x - (-2)) + 2(y - 1) - 9(z - 0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
12(x + 2) + 2(y - 1) - 9z = 0
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
12x + 24 + 2y - 2 - 9z = 0
12x + 2y - 9z + 22 = 0
Para deixar a equação mais simplificada e com menores coeficientes, podemos dividir todos os termos por 2:
6x + y - 92z + 11 = 0
Mas geralmente, mantemos os coeficientes inteiros, então podemos deixar assim: