Considere a matriz
A=[rrrr 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1 ]
© o determinante da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante da matriz . A matriz que temos é uma matriz quadrada de ordem 4. Para calcular o determinante, vamos precisar usar métodos de cálculo de determinante para matrizes maiores, como a regra de Sarrus ou expansão de cofactores. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível. Para matrizes maiores que 2x2, uma forma eficiente de calcular o determinante é usando a expansão por cofactores. Isso envolve escolher uma linha ou coluna e calcular os menores e cofatores correspondentes.

Passo 3

Vamos escolher a primeira linha da matriz para facilitar os cálculos. A primeira linha é . Isso significa que vamos multiplicar cada elemento dessa linha pelo seu cofator correspondente e somar os resultados.

Passo 4

Agora, vamos calcular os cofatores para cada elemento da primeira linha. O cofator é dado por , onde é o menor da matriz após remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 5

Vamos calcular cada menor 1 & 1 & 0 -3 & -3 & 0 0 & -1 & 1 para -2 & 1 & 0 6 & -3 & 0 1 & -1 & 1 a -2 & 1 & 0 6 & -3 & 0 1 & 0 & 1 :
  • Para -2 & 1 & 1 6 & -3 & -3 1 & 0 & -1 :
    Removendo a primeira linha e primeira coluna, obtemos:
    Calculando o determinante desse menor.
  • Para :
    Removendo a primeira linha e segunda coluna, obtemos:
    Calculando o determinante desse menor.
  • Para :
    Removendo a primeira linha e terceira coluna, obtemos:
    Calculando o determinante desse menor.
  • Para :
    Removendo a primeira linha e quarta coluna, obtemos:
    Calculando o determinante desse menor.

Passo 6

Vamos calcular cada determinante desses menores:
  • 1 & 1 & 0 -3 & -3 & 0 0 & -1 & 1 = 1 times (-3 times 1 - 0 times (-1)) - 1 times (-3 times 1 - 0 times 0) + 0 times (dots) = 1 times (-3) - 1 times (-3) + 0 = -3 + 3 = 0 :
    -2 & 1 & 0 6 & -3 & 0 1 & -1 & 1 = -2 times (-3 times 1 - 0 times (-1)) - 1 times (6 times 1 - 0 times 1) + 0 times (dots) = -2 times (-3) - 1 times 6 + 0 = 6 - 6 = 0
  • -2 & 1 & 0 6 & -3 & 0 1 & 0 & 1 = -2 times (-3 times 1 - 0 times 0) - 1 times (6 times 1 - 0 times 1) + 0 times (dots) = -2 times (-3) - 1 times 6 + 0 = 6 - 6 = 0 :
    -2 & 1 & 1 6 & -3 & -3 1 & 0 & -1 = -2 times (-3 times (-1) - (-3) times 0) - 1 times (6 times (-1) - (-3) times 1) + 1 times (6 times 0 - (-3) times 1) = -2 times 3 - 1 times (-3) + 1 times 3 = -6 + 3 + 3 = 0
  • :
  • :

Passo 7

Agora, aplicamos os cofatores na fórmula do determinante:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14 = 1 times 0 + 2 times 0 + 3 times 0 + 1 times 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

O determinante da matriz é igual a 0.

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