Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se
e
são matrizes anti-simétricas então
é anti-simétrica.
(a) ( ) Se
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para decidirmos se a afirmação “(a) Se
e
são matrizes anti-simétricas, então
é anti-simétrica” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com o conteúdo de matrizes anti-simétricas e vamos precisar entender como elas se comportam quando combinamos operações como transposição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz
é anti-simétrica se ela satisfaz a condição:
Isso significa que a transposta da matriz é igual ao negativo dela mesma.
Passo 3
Agora, sabemos que
e
são matrizes anti-simétricas. Então, temos:
Passo 4
Queremos verificar se
também é anti-simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de
:
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original, então
. Substituindo, temos:
Passo 5
Substituindo as expressões de
e
que sabemos serem
e
, respectivamente:
Passo 6
Agora, vamos comparar isso com o negativo de
:
Vemos que:
Isso satisfaz a condição para
ser uma matriz anti-simétrica.
Resposta
A afirmação é Verdadeira.