Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se A e B são matrizes anti-simétricas então A-2 B^t é anti-simétrica.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para decidirmos se a afirmação “(a) Se e são matrizes anti-simétricas, então é anti-simétrica” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com o conteúdo de matrizes anti-simétricas e vamos precisar entender como elas se comportam quando combinamos operações como transposição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz M^t = -M é anti-simétrica se ela satisfaz a condição:
Isso significa que a transposta da matriz é igual ao negativo dela mesma.

Passo 3

Agora, sabemos que A^t = -A e B^t = -B e são matrizes anti-simétricas. Então, temos:

Passo 4

Queremos verificar se (A - 2 B^t)^t = A^t - 2 (B^t)^t também é anti-simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de (A - 2 B^t)^t = A^t - 2 B :
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original, então . Substituindo, temos:

Passo 5

Substituindo as expressões de (A - 2 B^t)^t = (-A) - 2 B = -A - 2 B e que sabemos serem e , respectivamente:

Passo 6

Agora, vamos comparar isso com o negativo de -(A - 2 B^t) = -A + 2 B^t = -A + 2 (-B) = -A - 2 B :
(A - 2 B^t)^t = -(A - 2 B^t)
Vemos que:
Isso satisfaz a condição para ser uma matriz anti-simétrica.

Resposta

A afirmação é Verdadeira.

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