Se det A=2 e A^2+A-I=O, calcule det(A+I).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar o determinante da matriz , sabendo que o determinante de é 2 ( ) e que (onde é a matriz nula). Para isso, vamos usar propriedades de determinantes e um pouquinho de teoria sobre polinômios matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a equação dada para encontrar uma relação que envolva A^2 + A - I = O . Temos:
A^2 + A = I
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por A^-1 (A^2 + A) = A^-1 I (a inversa de A + I = A^-1 ), lembrando que é invertível já que :
Simplificando:

Passo 4

Queremos encontrar A + I = A^-1 . Com a relação que encontramos, sabemos que:
det(A + I) = det(A^-1)
Portanto:

Passo 5

Sabemos que o determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja:
det(A^-1) = 1det A
Substituindo det(A^-1) = 12 :

Resposta

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