Considere a mesma catapulta das questōes anteriores, só que agora ela possui urn movimento no eixo x ell relação ao solo. Considere que o movimento da catapulta é descrito pela equação:
xc(t)=j t+k t^2+l t^3,
onde xr é a posição da catapulta na horizontal em relação ao solo. Dessa forma, determine:
(b) A aceleração da catapulta, em função de j, k e l;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma catapulta que está se movendo na horizontal em relação ao solo, e a posição dela ao longo do tempo é dada pela equação:
xc(t) = j t + k t^2 + l t^3,
onde é a posição na horizontal, e , , e são constantes que definem como a posição muda com o tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração da catapulta em função dessas constantes , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. E a velocidade, por sua vez, é a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Matematicamente, isso significa que:
  • Velocidade ( v(t) = dxc(t)dt ) é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
a(t) = d^2xc(t)dt^2 = dv(t)dt
  • Aceleração ( ) é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou a primeira derivada da velocidade:

Passo 3

Vamos calcular a velocidade primeiro, derivando v(t) = ddt(j t + k t^2 + l t^3) = j + 2k t + 3l t^2 em relação ao tempo :
Aqui, usamos a regra básica de derivação para polinômios, multiplicando o coeficiente de cada termo pela potência de e diminuindo a potência em 1.

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração:
a(t) = ddt(j + 2k t + 3l t^2) = 0 + 2k + 6l t
Note que a derivada de uma constante ( ) é zero, e aplicamos a mesma regra de derivação usada anteriormente aos outros termos.

Resposta

A aceleração da catapulta em função de a(t) = 2k + 6l t , e é:

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