Considere o método da bissecção, um intervalo [2, 3] e
, calcule o número mínimo de iterações para que tenhamos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o método da bissecção, que é uma técnica usada para encontrar raízes de funções. Temos um intervalo inicial [2, 3] e precisamos que a diferença entre os pontos finais do intervalo seja menor que
(ou seja, 0,01). Para resolver isso, vamos descobrir quantas vezes precisamos dividir esse intervalo pela metade até que a diferença entre os novos pontos seja menor que 0,01.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o método da bissecção funciona. A cada iteração, a gente divide o intervalo atual pela metade. Então, se começamos com um intervalo de tamanho
, na primeira iteração o novo intervalo vai ter tamanho
, na segunda
, e assim por diante.
Passo 3
Queremos encontrar o número mínimo de iterações
tal que o tamanho do intervalo seja menor que
. Isso pode ser representado pela inequação:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Para resolver essa inequação, vamos usar logaritmos. Primeiro, reescrevemos a inequação:
Agora, aplicando o logaritmo de base 2 em ambos os lados para isolar
:
Calculando o valor de
:
Passo 5
Como
precisa ser um número inteiro (não podemos fazer uma fração de iteração), arredondamos para cima. Portanto, o número mínimo de iterações é 7.
No entanto, vamos verificar rapidamente:
- Após 6 iterações:
(maior que 0,01) - Após 7 iterações:
(menor que 0,01)
Então, realmente precisamos de 7 iterações para que o intervalo seja menor que 0,01.
Resposta
São necessárias 7 iterações para que o intervalo seja menor que
.
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