Considere o método da bissecção, um intervalo [2, 3] e varepsilon=10^-2, calcule o número mínimo de iterações para que tenhamos b0-a0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o método da bissecção, que é uma técnica usada para encontrar raízes de funções. Temos um intervalo inicial [2, 3] e precisamos que a diferença entre os pontos finais do intervalo seja menor que varepsilon = 10^-2 (ou seja, 0,01). Para resolver isso, vamos descobrir quantas vezes precisamos dividir esse intervalo pela metade até que a diferença entre os novos pontos seja menor que 0,01.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o método da bissecção funciona. A cada iteração, a gente divide o intervalo atual pela metade. Então, se começamos com um intervalo de tamanho b0 - a0 = 3 - 2 = 1, na primeira iteração o novo intervalo vai ter tamanho 12, na segunda 14, e assim por diante.

Passo 3

Queremos encontrar o número mínimo de iterações n tal que o tamanho do intervalo seja menor que varepsilon = 0,01. Isso pode ser representado pela inequação:
b0 - a02^n < varepsilon
Substituindo os valores que temos:
12^n < 0,01

Passo 4

Para resolver essa inequação, vamos usar logaritmos. Primeiro, reescrevemos a inequação:
2^n > 10,01 2^n > 100
Agora, aplicando o logaritmo de base 2 em ambos os lados para isolar n:
n > log2100
Calculando o valor de log2100:
log2100 approx ln100ln2 approx 4,60520,6931 approx 6,6439

Passo 5

Como n precisa ser um número inteiro (não podemos fazer uma fração de iteração), arredondamos para cima. Portanto, o número mínimo de iterações é 7.
No entanto, vamos verificar rapidamente:
  • Após 6 iterações: 12^6 = 164 approx 0,015625 (maior que 0,01)
  • Após 7 iterações: 12^7 = 1128 approx 0,0078125 (menor que 0,01)
Então, realmente precisamos de 7 iterações para que o intervalo seja menor que 0,01.

Resposta

São necessárias 7 iterações para que o intervalo seja menor que .

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