Considere o método da bissecção, um intervalo [2, 3] e , calcule o número mínimo de iterações para que tenhamos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o método da bissecção, que é uma técnica usada para encontrar raízes de funções. Temos um intervalo inicial [2, 3] e precisamos que a diferença entre os pontos finais do intervalo seja menor que (ou seja, 0,01). Para resolver isso, vamos descobrir quantas vezes precisamos dividir esse intervalo pela metade até que a diferença entre os novos pontos seja menor que 0,01.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o método da bissecção funciona. A cada iteração, a gente divide o intervalo atual pela metade. Então, se começamos com um intervalo de tamanho , na primeira iteração o novo intervalo vai ter tamanho , na segunda , e assim por diante.

Passo 3

Queremos encontrar o número mínimo de iterações tal que o tamanho do intervalo seja menor que . Isso pode ser representado pela inequação:
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Para resolver essa inequação, vamos usar logaritmos. Primeiro, reescrevemos a inequação:
Agora, aplicando o logaritmo de base 2 em ambos os lados para isolar :
Calculando o valor de :

Passo 5

Como precisa ser um número inteiro (não podemos fazer uma fração de iteração), arredondamos para cima. Portanto, o número mínimo de iterações é 7.
No entanto, vamos verificar rapidamente:
  • Após 6 iterações: (maior que 0,01)
  • Após 7 iterações: (menor que 0,01)
Então, realmente precisamos de 7 iterações para que o intervalo seja menor que 0,01.

Resposta

São necessárias 7 iterações para que o intervalo seja menor que .

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