Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de varepsilon=10^-2.
x log x-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma raiz da equação usando o método da bissecção, com uma precisão de . O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, basicamente cortando o intervalo onde a raiz está pela metade repetidamente até atingir a precisão desejada. Para isso, precisamos identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal, garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que estamos analisando:
f(x) = x log x - 1
Agora, precisamos encontrar dois valores, e , tais que e tenham sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 3

Vamos testar f(1) = 1 cdot log 1 - 1 = 0 - 1 = -1 :
f(2) = 2 cdot log 2 - 1 approx 2 cdot 0,6931 - 1 approx 1,3862 - 1 = 0,3862
Agora, :
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2. Então, nosso intervalo inicial é .

Passo 4

Calculamos o ponto médio do intervalo:
c = 1 + 22 = 1,5
Agora, avaliamos f(1,5) = 1,5 cdot log 1,5 approx 1,5 cdot 0,4055 approx 0,6083 - 1 = -0,3917 :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1,5 e 2. Atualizamos nosso intervalo para .

Passo 5

Novo ponto médio:
c = 1,5 + 22 = 1,75
Avaliação de f(1,75) = 1,75 cdot log 1,75 approx 1,75 cdot 0,5596 approx 0,9793 - 1 = -0,0207 :
Ainda negativo, então a raiz está entre 1,75 e 2. Atualizamos o intervalo para .

Passo 6

Novo ponto médio:
c = 1,75 + 22 = 1,875
Avaliação de f(1,875) = 1,875 cdot log 1,875 approx 1,875 cdot 0,6276 approx 1,176 - 1 = 0,176 :
Agora, é positivo, então a raiz está entre 1,75 e 1,875. Atualizamos o intervalo para .

Passo 7

Ponto médio:
c = 1,75 + 1,8752 = 1,8125
Avaliação de f(1,8125) = 1,8125 cdot log 1,8125 approx 1,8125 cdot 0,5945 approx 1,079 - 1 = 0,079 :
Positivo novamente, então a raiz está entre 1,75 e 1,8125. Atualizamos para .

Passo 8

Ponto médio:
c = 1,75 + 1,81252 = 1,78125
Avaliação de f(1,78125) = 1,78125 cdot log 1,78125 approx 1,78125 cdot 0,5754 approx 1,026 - 1 = 0,026 :
Ainda positivo, então atualizamos o intervalo para .

Passo 9

Ponto médio:
c = 1,75 + 1,781252 = 1,765625
Avaliação de f(1,765625) = 1,765625 cdot log 1,765625 approx 1,765625 cdot 0,5691 approx 1,006 - 1 = 0,006 :
Positivo, então atualizamos para .

Passo 10

Ponto médio:
c = 1,75 + 1,7656252 = 1,7578125
Avaliação de f(1,7578125) = 1,7578125 cdot log 1,7578125 approx 1,7578125 cdot 0,5630 approx 0,988 - 1 = -0,012 :
Agora, é negativo, então a raiz está entre 1,7578125 e 1,765625. Atualizamos para .

Passo 11

Verificamos a precisão:
b - a = 1,765625 - 1,7578125 = 0,0078125 < 0,01
Como a diferença entre e é menor que , paramos aqui.

Resposta

Aproximadamente, a raiz da equação pelo método da bissecção é .

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