Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma raiz da equação usando o método da bissecção, com uma precisão de . O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, basicamente cortando o intervalo onde a raiz está pela metade repetidamente até atingir a precisão desejada. Para isso, precisamos identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal, garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que estamos analisando:
Agora, precisamos encontrar dois valores, e , tais que e tenham sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 3

Vamos testar :
Agora, :
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2. Então, nosso intervalo inicial é .

Passo 4

Calculamos o ponto médio do intervalo:
Agora, avaliamos :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1,5 e 2. Atualizamos nosso intervalo para .

Passo 5

Novo ponto médio:
Avaliação de :
Ainda negativo, então a raiz está entre 1,75 e 2. Atualizamos o intervalo para .

Passo 6

Novo ponto médio:
Avaliação de :
Agora, é positivo, então a raiz está entre 1,75 e 1,875. Atualizamos o intervalo para .

Passo 7

Ponto médio:
Avaliação de :
Positivo novamente, então a raiz está entre 1,75 e 1,8125. Atualizamos para .

Passo 8

Ponto médio:
Avaliação de :
Ainda positivo, então atualizamos o intervalo para .

Passo 9

Ponto médio:
Avaliação de :
Positivo, então atualizamos para .

Passo 10

Ponto médio:
Avaliação de :
Agora, é negativo, então a raiz está entre 1,7578125 e 1,765625. Atualizamos para .

Passo 11

Verificamos a precisão:
Como a diferença entre e é menor que , paramos aqui.

Resposta

Aproximadamente, a raiz da equação pelo método da bissecção é .

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