Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma raiz da equação
usando o método da bissecção, com uma precisão de
. O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, basicamente cortando o intervalo onde a raiz está pela metade repetidamente até atingir a precisão desejada. Para isso, precisamos identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal, garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que estamos analisando:
Agora, precisamos encontrar dois valores,
e
, tais que
e
tenham sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 3
Vamos testar
:
Agora,
:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2. Então, nosso intervalo inicial é
.
Passo 4
Calculamos o ponto médio do intervalo:
Agora, avaliamos
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 1,5 e 2. Atualizamos nosso intervalo para
.
Passo 5
Novo ponto médio:
Avaliação de
:
Ainda negativo, então a raiz está entre 1,75 e 2. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 6
Novo ponto médio:
Avaliação de
:
Agora,
é positivo, então a raiz está entre 1,75 e 1,875. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 7
Ponto médio:
Avaliação de
:
Positivo novamente, então a raiz está entre 1,75 e 1,8125. Atualizamos para
.
Passo 8
Ponto médio:
Avaliação de
:
Ainda positivo, então atualizamos o intervalo para
.
Passo 9
Ponto médio:
Avaliação de
:
Positivo, então atualizamos para
.
Passo 10
Ponto médio:
Avaliação de
:
Agora, é negativo, então a raiz está entre 1,7578125 e 1,765625. Atualizamos para
.
Passo 11
Verificamos a precisão:
Como a diferença entre
e
é menor que
, paramos aqui.
Resposta
Aproximadamente, a raiz da equação
pelo método da bissecção é
.
Exercícios relacionados
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.
Mostre que a função
possui pelos menos uma raiz no intervalo [-2, 0]. Em seguida mostre que essa raiz é única.
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.
Considere o método da bissecção, um intervalo [2, 3] e
, calcule o número mínimo de iterações para que tenhamos
.